Question

Нескінченна вертикальна площина має рівномірно розподілений позитивний заряд. До неї прикріплена нитка, на якій висить кулька масою 40 мг з позитивним зарядом 670 пКл. Сила натягу нитки 490 мкН. Визначить поверхневу густину заряду площини.

Answer 1

Ответ:

Сила натягу нитки дорівнює силі тяжіння кульки і електричній силі притягання кульки до площини: F = Fтяж + Feл. За законом Кулона, електрична сила між зарядами залежить від їх відстані і заряду: Feл = k*q1*q2/r^2, де k - коефіцієнт пропорційності, q1 і q2 - заряди, r - відстань між ними. У нашому випадку кулька має позитивний заряд, тому притягується до площини з негативним зарядом. Оскільки площина має рівномірний розподіл заряду, то можна припустити, що вся маса площини складається з негативних зарядів. Тоді Feл = k*q1*q2/(d^2*A), де d - відстань між кулькою і площиною, A - площа площини. Прирівнюючи дві формули для Feл, отримуємо: Fтяж = k*q1*q2/(d^2*A) - Fнатяг. Підставляючи дані, отримуємо: 490*10^-6 = 9*10^9*670*10^-12*q*A/(d^2), або q*A/d^2 = 0,73. Площина має рівномірний розподіл заряду, тому поверхнева густина заряду дорівнює q/A. Підставляючи вираз для q/A з отриманого рівняння, отримуємо: q/A = 0,73*d^2. Визначимо відстань d між кулькою і площиною за допомогою закону тяжіння: Fтяж = mg, де m - маса кульки, g - прискорення вільного падіння. Тоді d = mg/(Fтяж/2) = 8*10^-6 м. Підставляючи значення d в отриманий вираз для q/A, отримуємо: q/A = 0,73*(8*10^-6)^2 = 4,7*10^-11 Кл/м^2. Відповідь: 4,7*10^-11 Кл/м^2.

Answer 2

Для визначення поверхневої густини заряду площини можна скористатися законом Кулона та другим законом Ньютона.

Закон Кулона говорить, що сила між двома точковими зарядами залежить від їхньої величини та відстані між ними:

$F = \frac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r^2}},$

де $F$ - сила між зарядами, $k$ - електростатична константа ($k \approx 9 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2$), $q_1$ і $q_2$ - заряди, $r$ - відстань між зарядами.

В даному випадку один із зарядів - це заряд кульки $q_2 = 670 \, \text{пКл}$, а інший - заряд, розподілений по площині. Також нам дана сила натягу нитки $F = 490 \, \text{мкН}$.

Сила натягу нитки може бути представлена як сила електростатичного відштовхування між кулькою і зарядом на площині, який має бути знайдений:

$F = \frac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{r^2}}.$

Ми можемо переписати це рівняння, щоб виразити відстань $r$:

$r = \sqrt{\frac{{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}}{{F}}}.$

Підставимо дані:

$r = \sqrt{\frac{{9 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \cdot |40 \times 10^{-6} \, \text{кг} \cdot 670 \times 10^{-12} \, \text{Кл}|}}{{490 \times 10^{-6} \, \text{Н}}}}.$

Розраховуємо $r$:

$r \approx 0.00102 \, \text{м}.$

Тепер ми можемо визначити поверхневу густину заряду ($\sigma$) на площині. Знаючи, що заряд розподілений рівномірно по площині і має відстань $r$ від кульки, ми можемо використовувати такий вираз:

$\sigma = \frac{{q_1}}{{A}},$

де $A$ - площа площини, на якій розподілений заряд, а $q_1$ - заряд на цій площині. Також, ми можемо виразити площу площини як $A = \pi r^2$.

Отже,

$\sigma = \frac{{q_1}}{{\pi r^2}}.$

Підставимо значення $q_1$ та $r$:

$\sigma = \frac{{670 \times 10^{-12} \, \text{Кл}}}{{\pi \cdot (0.00102 \, \text{м})^2}}.$

Розраховуємо $\sigma$:

$\sigma \approx 1.63 \times 10^{-7} \, \text{Кл/м}^2.$

Отже, поверхнева густинa заряду площини приблизно дорівнює $1.63 \times 10^{-7} \, \text{Кл/м}^2$.