Question

10 баллов за подробный ответ Два гармонических колебания, направленных по одной прямой и имеющих одинаковые амплитуды и периоды, складываются в одно колебание той же амплитуды. Найти разность фаз складываемых колебаний. Сделать рисунок. Рисунок очень желательно изобразить.

Answer 1

cos(wt)+cos(wt+fi)=cos(wt+fi1)

cos(wt)+cos(wt+fi)=2*cos(wt+fi/2)*cos(fi/2) (формула тригонометрии сумма косинусов)

2*cos(wt+fi/2)*cos(fi/2)=cos(wt+fi1)

2*cos(fi/2)=+/-1

cos(fi/2)=+/-0,5

(fi/2)=+/-pi/3+2*pi*k или (fi/2)=+/-2pi/3+2*pi*k

fi=+/-2pi/3+4*pi*k или fi=+/-4pi/3+4*pi*k

объединяем два множества

fi=+/-2pi/3+2*pi*k- искомая разность фаз

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно представить два гармонических колебания и затем сложить их, чтобы найти разность фаз между ними. Гармоническое колебание обычно задается функцией синуса или косинуса вида:

$y_1 = A \cdot \sin(\omega t + \phi_1)$ $y_2 = A \cdot \sin(\omega t + \phi_2)$

где $A$ - амплитуда колебания, $\omega$ - угловая скорость (в данном случае равна $2\pi$ деленное на период колебания $T$), $t$ - время, а $\phi_1$ и $\phi_2$ - начальные фазы для первого и второго колебания соответственно.

Чтобы найти общее колебание, сложим $y_1$ и $y_2$:

$y_{\text{общ}} = y_1 + y_2 = A \cdot \sin(\omega t + \phi_1) + A \cdot \sin(\omega t + \phi_2)$

Теперь попробуем упростить это выражение:

$y_{\text{общ}} = A \cdot (\sin(\omega t + \phi_1) + \sin(\omega t + \phi_2))$

Используем тригонометрическую формулу для суммы синусов:

$\sin(\alpha) + \sin(\beta) = 2 \cdot \sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$

В нашем случае $\alpha = \omega t + \phi_1$ и $\beta = \omega t + \phi_2$, подставим значения:

$y_{\text{общ}} = 2A \cdot \sin\left(\frac{2\omega t + \phi_1 + \phi_2}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\phi_1 - \phi_2}{2}\right)$

Таким образом, общее колебание также будет гармоническим с амплитудой $2A$, а начальная фаза $\phi_{\text{общ}}$ равна $\frac{\phi_1 + \phi_2}{2}$.

Теперь, чтобы найти разность фаз $\Delta\phi$ между складываемыми колебаниями, нужно вычесть $\phi_2$ из $\phi_1$:

$\Delta\phi = \phi_1 - \phi_2$

Таким образом, разность фаз между колебаниями равна $\Delta\phi$.

Теперь представим графическое изображение обоих колебаний на одном графике:

cssCopy code
   ^
   |
  A|              *  *             *
   |            *      *         *
   |          *          *     *
   |         *            *  *
   |       *               *
   |     *                *  *
   |   *                  *     *
   | *                    *        *
   *---------------------------> t
   0                         T/2

На графике показано первое колебание (звездочки) и второе колебание (точки) на одном временном интервале. Каждое колебание имеет амплитуду $A$ и период $T$. Пунктирная линия между графиками показывает разность фаз $\Delta\phi$.

Обратите внимание, что если разность фаз равна нулю ($\Delta\phi = 0$), то два колебания будут "в фазе" и усилят друг друга, создавая колебание с амплитудой $2A$. Если же разность фаз равна $\pi$ ($\Delta\phi = \pi$), то колебания будут "в противофазе" и ослабят друг друга, амплитуда общего колебания станет равной нулю.