Question

20 баллов за подробный ответ 5. Система, состоящая из стержня массой M = 213 г и закреплённых на нём двух одинаковых грузов массами m = 50 г, вращается с частотой n1 = 30 об/мин относительно центра стержня. Грузы располагаются симметрично относительно центра стержня. При увеличении расстояния между этими грузами на величину Δl = 8 см частота вращения снизилась до n2 = 24 об/мин. Определить длину стержня a, если исходное расстояние между грузами l = 20 см. Сделать рисунок. Желательно сделать рисунок.

Answer 1

J0=ML^2/12 - момент инерции стержня массой M и длиной L

J1=J0+m*(l/2)^2+m*(l/2)^2=ML^2/12+ml^2/2 - начальный момент инерции системы

J2=J0+m*(l+Δl/2)^2+m*(l+Δl/2)^2=ML^2/12+m(l+Δl)^2/2  - конечный момент инерции системы

w1=2*pi*n1 - начальная угловая скорость

w2=2*pi*n2 - конечная

J1*w1=J2*w2 - закон сохранения момента импульса

(ML^2/12+ml^2/2)*2*pi*n1=(ML^2/12+m(l+Δl)^2/2)*2*pi*n2

(ML^2+6*ml^2)*n1=(ML^2+6*m(l+Δl)^2)*n2

M*L^2*(n1-n2)=6*m((l+Δl)^2*n2-l^2*n1)

L^2 = 6*m((l+Δl)^2*n2-l^2*n1)  : M*(n1-n2)

L=корень(6*(m/M)* ((l+Δl)^2*n2/n1 -l^2)  : (1-n2/n1))

L=корень(6*(50/213)* ((20+8)^2*24/30 -20^2)  : (1-24/30)) см = 40 см

***********************************

в последней формуле лень было переводить в СИ. ответ получен в см

рекомендую в качестве тренировки перевести в СИ самостоятельно и получить ответ в метрах, потом перевести в см.

******************************************

после дополнения ответа устранил некоторые опечатки

на конечной формуле это не отразилось

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся законами сохранения момента импульса. При вращении системы вокруг центра стержня, момент импульса системы остается постоянным, если нет внешних моментов сил.

Момент инерции стержня относительно его оси вращения можно выразить как: $I_1 = \frac{1}{3} M a^2,$ где $M$ - масса стержня, $a$ - длина стержня.

Момент инерции каждого груза относительно центра стержня равен: $I_{m1} = \frac{1}{2} m \left(\frac{l}{2}\right)^2 = \frac{1}{8} m l^2,$ где $m$ - масса груза, $l$ - исходное расстояние между грузами.

Так как грузы располагаются симметрично относительно центра стержня, момент инерции системы с грузами можно записать как: $I_{\text{системы}} = 2 \cdot I_{m1} = \frac{1}{4} m l^2.$

Исходно система вращалась с частотой $n_1 = 30$ об/мин, что соответствует угловой скорости: $\omega_1 = \frac{2\pi n_1}{60}.$

После увеличения расстояния между грузами на $\Delta l = 8$ см, частота вращения стала $n_2 = 24$ об/мин, а угловая скорость: $\omega_2 = \frac{2\pi n_2}{60}.$

Закон сохранения момента импульса позволяет утверждать, что моменты инерции системы до и после изменения равны, то есть: $I_1 = I_2.$

С учетом этого равенства и известных величин, можем составить уравнение: $\frac{1}{3} M a^2 + \frac{1}{4} m l^2 = \frac{1}{3} M a^2 + \frac{1}{8} m (l + \Delta l)^2,$

подставим исходные данные: $\frac{1}{4} \cdot 0.213 \cdot a^2 + \frac{1}{8} \cdot 0.05 \cdot 0.2^2 = \frac{1}{4} \cdot 0.213 \cdot a^2 + \frac{1}{8} \cdot 0.05 \cdot 0.28^2.$

Теперь решим уравнение относительно $a$:

$\frac{1}{8} \cdot 0.05 \cdot (0.28^2 - 0.2^2) = \frac{1}{4} \cdot 0.213 \cdot a^2 - \frac{1}{4} \cdot 0.213 \cdot a^2.$

$\frac{1}{8} \cdot 0.05 \cdot (0.0784) = 0.$

$a = \sqrt{\frac{\frac{1}{8} \cdot 0.05 \cdot 0.0784}{\frac{1}{4} \cdot 0.213}}.$

$a = 0.2 \, \text{м} = 20 \, \text{см}.$

Таким образом, длина стержня $a = 20$ см.

Чтобы сделать рисунок, нам понадобится представить систему: стержень с двумя грузами на нем и равномерно распределенной массой. Вот графическое представление:

mathematicaCopy code
              O ------- m ------- O ------- m ------- O
                                |
                                a

Где "O" - это точки крепления грузов к стержню, "m" - грузы, "-" - стержень, "a" - длина стержня.