Question

(**). К нити, намотанной на сплошной однородный цилиндр массой M и радиусом R, привязан грузик массой m. Нить переброшена через блок пре- небрежимо малой массы (рис. 9.12). Найти ускорение грузика a и ускорение центра масс цилиндра a c(индекс) . Считать, что цилиндр катится без проскальзывания. В задаче (**) найти, каким должен быть коэффициент трения μ ци- линдра о плоскость, чтобы цилиндр катился по плоскости без проскальзы- вания.

Answer 1

Раз цилиндр катится без проскальзывания, то значит, его нижняя точка, которой цилиндр опираетсся на стол – в любой момент времени испытвает кратковременное состояние покоя (мгновенное), или иначе говоря – замирает. Это возможно только в том случае, когда линейная скорость вращения обода (поверхности цилиндра) равна скорости движения оси цилиндра вправо по столу.

Подойдя к вопросу с другой стороны, мы можем понять, что за небольшой промежуток в любой момент времени, верхняя точка обода продвигается вправо на вдое больлшее расстояние, чем ось цилиндра, поскольку верхняя точка обода отстоит от стола на вдаое большее расстояние. А это значит, что к скорости движения оси цилиндра в верхней точке обода должна прибавляться точно такая же линейная скорость вращения обода.

В обоих подходах мы приходим к выводу, что линейная скорость вращения обода vo всегда должна быть равна скорости оси цилиндра V для выполнения условия качения без проскальзывания. Итак, мы можем записать:

V = vo ;

Угловая скорость вращения обода ω, по определению связана с линейной сокростью его вращения vo – соотношением:

ω = vo/R = V/R ;
Rω = V ;

Верхняя точка цилиндра в любой момент времени при этом движется относительно стола со скоростью:

v = vo + V = 2V ;
v = 2V = 2Rω ;
и скорость v – это ни что иное, как модуль скорости движения нити и подвешенного груза.

dv = 2dV = 2Rdω ;
dv/dt = 2dV/dt = 2Rdω/dt ;

a = 2aц = 2Rω' ,
aц = ω'R = a/2 , где:
aц – модуль линейного ускорения оси цилиндра, и так же и модуль линейного ускорения вращения его обода,
ω' – угловое ускорение вращающегося цилиндра:

Запишем Второй закон Ньютона в линейной и вращательной форме для участвующих в движении тел, учитывая момент инерции цилиндра – MR²/2 и обозначив модуль натяжения нити, как T и проекцию силы трения, как Fx (на горизонтальную ось Ох, направленную слева направо). Направим силу трения вправо, считая её проекцию положительной. Этот выбор не изменит хода решения задачи, поскольку если в реальности она окажется направлена влево, ты мы просто получим для значения проекции отрицательное значение. Позже мы поставим условие –μN < Fх < μN , чтобы трения было достаточно (куда бы оно ни было направлено) для обеспечения качения без проскальзывания.

mg – T = ma ; для грузика
T + Fх = Maц ; для движения оси цилиндра
TR – FхR = [MR²/2]ω' ; для вращения вокруг оси цилиндра

mg – T = ma ;           [1]
T + Fх = Ma/2 ;          [2]
T – Fх = Ma/4 ;          [3]

mg – T = ma ;
2T = 3Ma/4 ;

T = 3Ma/8 ;
mg – 3Ma/8 = ma ;

( m + 3M/8 ) a = mg ;

a = g / ( 1 + 3M/[8m] ) – это ускорение грузика ;        [4]

aц = a/2 = g / ( 2 + 3M/[4m] ) – это ускорение движения направо оси цилиндра ;         [5]

Вычтем [3] из [2] и получим:

2Fх = Ma/4 ;

Fх = Ma/8 ;

Сила трения покоя по модулю всегда должна быть меньше силы трения скольжения, а значит, олджно выполняться неравенство:

F < μN ;

|Fx| < μN ;

–μN < Fx < μN ;

–μMg < Ma/8 < μMg ;

–μg < 0 < a/8 < μg ;

μ > a/8g , подставляя [4] получим:

μ > 1/[ 8 + 3M/m ] ;        [6]



Ответы в пунктах [4], [5] и [6] .