Question

На якій висоті над поверхнею Землі сила земного тяжіння вдвічі менша від сили тяжіння поблизу поверхні?

Answer 1

R=6400 км   F1/F2=2    h=?

===

F1=G*m*M/R²

F2=G*m*M/(R+h)²

2=(R+h)²/R²

h=R*(√2-1)=6400*(√2-1)=2651 км

=============================

Answer 2

Сила земного тяжіння залежить від відстані до центра Землі. Згідно з законом всесвітнього тяжіння, сила тяжіння між двома об'єктами пропорційна масам цих об'єктів і обернено пропорційна квадрату відстані між ними.

Таким чином, якщо ми позначимо силу тяжіння на поверхні Землі як F, а відстань від центра Землі до цієї точки (радіус Землі) як R, то ми можемо записати:

F = G * (m1 * m2) / R^2

де G - гравітаційна стала, m1 та m2 - маси двох тіл (у даному випадку маса Землі та маса об'єкта, на якому ми розглядаємо силу тяжіння).

Якщо ми перенесемо об'єкт на висоту h над поверхнею Землі, то нова відстань між центром Землі та цим об'єктом становитиме (R + h). Тоді нове значення сили тяжіння (F') буде:

F' = G * (m1 * m2) / (R + h)^2

За умовою задачі, сила тяжіння вдвічі менша на висоті h, ніж на поверхні Землі. Тобто:

F' = (1/2) * F

Тепер ми можемо записати рівняння, розв'язати його відносно h та знайти висоту:

(1/2) * F = G * (m1 * m2) / (R + h)^2

Після спрощення рівняння, ми отримаємо:

(R + h)^2 = 2 * R

Розкриваємо дужки та спрощуємо:

R^2 + 2 * R * h + h^2 = 2 * R

Прибираємо R^2 з обох боків:

2 * R * h + h^2 = R

Прибираємо R з лівого боку:

h^2 + 2 * R * h - R = 0

Тепер це квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою квадратного кореня:

h = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

де a = 1, b = 2 * R, c = -R

h = (-2 * R ± √((2 * R)^2 - 4 * 1 * (-R))) / 2 * 1

h = (-2 * R ± √(4 * R^2 + 4 * R)) / 2

h = -R ± √(R^2 + R)

Оскільки висота не може бути від'ємною (відстань вище поверхні Землі), то відповідь буде:

h = -R + √(R^2 + R)

Отже, на висоті h над поверхнею Землі сила земного тяжіння вдвічі менша від сили тяжіння поблизу поверхні, і ця висота обчислюється як h = -R + √(R^2 + R), де R - радіус Землі.