Question

Найти градиент функции u=f(x,y,z) в точке М (1, -1, 2). U= ln (x²+y²)

Answer 1

Решение смотри в прикрепленном скрине:

Answer 2

Чтобы найти градиент функции u = f(x, y, z) в точке M(1, -1, 2), нужно вычислить частные производные функции u по каждой из переменных (x, y, z) и подставить значения точки M в эти производные.

Дано: u = ln(x² + y²)

Найдем частные производные функции u по переменным x, y и z:

1. Частная производная по x (при фиксированных y и z): ∂u/∂x = (∂/∂x) ln(x² + y²)

Для вычисления этой производной, воспользуемся цепным правилом дифференцирования: ∂/∂x ln(x² + y²) = 1 / (x² + y²) * (2x) = 2x / (x² + y²)

2. Частная производная по y (при фиксированных x и z): ∂u/∂y = (∂/∂y) ln(x² + y²)

Аналогично для y: ∂/∂y ln(x² + y²) = 1 / (x² + y²) * (2y) = 2y / (x² + y²)

3. Частная производная по z (при фиксированных x и y): ∂u/∂z = 0

Так как функция u не зависит от z, ее частная производная по z равна нулю.

Теперь вычислим градиент функции u в точке M(1, -1, 2):

Градиент функции u: ∇u = (∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z) ∇u = (2x / (x² + y²), 2y / (x² + y²), 0)

Подставим значения точки M(1, -1, 2) в градиент:

∇u(M) = (21 / (1² + (-1)²), 2(-1) / (1² + (-1)²), 0) ∇u(M) = (2/2, -2/2, 0) ∇u(M) = (1, -1, 0)

Таким образом, градиент функции u = ln(x² + y²) в точке M(1, -1, 2) равен (1, -1, 0).