Question

Тело массы m кидают вертикально вверх со скоростью V0. Сопротивление воздуха пропорционально скорости F=-av. Найти скорость, с которой тело упадет на землю, если время падения равно t.

Answer 1

Ответ:

V=V0+gt

Объяснение:

Запишем основное уравнение динамики в векторной форме:

ma=mg+F; Проецируя на ось Oy, получим: ma=mg+F;

Преобразуем, используя дифференциалы:

m*dV/dt=mg+aV;

m*dV=mg*dt+a*Vdt

m*dV=mg*dt+a*dh

Рассмотрим сначала полет тела до своей максимальной точки траектории(то есть до момента, когда скорость станет равна нулю)

Возьмем определенный интеграл от обеих частей (слева -  от V0 до 0,справа - от 0 до t1 и от 0 до H)

-m*V0=m*g*t1-a*H;

Теперь рассмотрим падение шарика:

ma=mg-F;

m*dV/dt=mg-aV;

m*dV=mg*dt-adh

Аналогично берем интеграл:

mV=mgt2+aH;

Имеем систему:

-m*V0=m*g*t1-a*H

mV=mgt2+aH

Сложим эти два уравнения,получим:

mV-mV0=mg(t1+t2);

mV=mV0+mgt;

V=V0+gt;

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся законами движения с учетом силы сопротивления воздуха.

Исходные данные: Масса тела: m Начальная скорость вверх: V0 Сопротивление воздуха: F = -av (где a - константа пропорциональности, v - скорость тела)

Сначала определим уравнение движения тела вверх:

Ускорение тела вверх: a_up = F / m = (-av) / m

Используем уравнение движения: v = V0 + a_up * t

Теперь, чтобы найти скорость тела при падении, нам нужно определить время, за которое тело достигает своей максимальной высоты. При этом вертикальная скорость будет равна нулю.

v_max = 0 0 = V0 + a_up * t_max t_max = -V0 / a_up

Теперь можем найти максимальную высоту H, достигнутую телом:

H = V0 * t_max + (1/2) * a_up * t_max^2

Теперь определим ускорение тела вниз (после того, как тело достигло своей максимальной высоты и начинает падать):

a_down = F / m = (av) / m

Теперь можем найти вертикальную скорость тела при падении (на высоте H):

v_down = 0 + a_down * t

Теперь можем найти скорость тела при падении на землю:

v_ground = v_down = a_down * t

Теперь объединим все уравнения, чтобы найти скорость тела при падении:

v_ground = (av) / m * t

Таким образом, скорость, с которой тело упадет на землю, равна (av * t) / m.