Question

Точка совершает гармонические колебания с частотой ν= 1,25 с-1. Амплитуда А= 6 см, начальная фаза равна 0. Определить скорость точки в момент, когда ее смещение от положения равновесия равно 3 см

Answer 1

Ответ:

t=3,82 с

v=0,41 м/с

Объяснение:

Описанные условия - это незатухающие гармонические колебания Смещение точки со временем описывается по закону (в случае когда начальная фаза равно нулю)

х=A*Sin(wt)

Эта запись через Sin, но иногда записывают и через косинус - это одно и тоже и зависит от учебного заведения. В некоторых по умолчанию через синус, в некоторых по умолчанию через косинус.

Выразим циклическую частоту через частоту колебаний v

w=2*π*v, тогда

х=A*Sin(2*π*v*t)

Выразим отсюда время

Sin(2*π*v*t)=х/А

2*π*v*t=arcsin(х/А)

t=arcsin(х/А)/2*π*v

Подставим данные из дано, найдем момент, когда ее смещение от положения равновесия равно 3 см.

t=arcsin(х/А)/2*π*v=arcsin(0,03/0,06)/2*3,14*1,25=3,82 с

Скорость - это первая производная координаты по времени

v=$\frac{dx}{dt}$=$\frac{d(A*Sin(wt))}{dt}$=A*w*cos(wt)

Выразим циклическую частоту через частоту колебаний v

w=2*π*v, тогда

v=A*2*π*v*cos(2*π*v*t)

Подставим данные из дано и время, определенное выше

v=A*2*π*v*cos(2*π*v*t)=0,06*2*3,14*1,25*cos(2*3,14*1,25*3,82)=0,41 м/с

Answer 2

Для определения скорости точки в момент, когда её смещение от положения равновесия равно 3 см, мы можем использовать уравнение гармонических колебаний.

Уравнение гармонических колебаний для точки с амплитудой А, частотой ν и начальной фазой φ выглядит следующим образом:

x(t) = A * cos(2πνt + φ)

где x(t) - это смещение точки от положения равновесия в момент времени t.

Мы знаем, что амплитуда A равна 6 см, частота ν равна 1,25 с-1, начальная фаза φ равна 0. Из условия задачи, нас интересует момент времени, когда смещение x(t) равно 3 см.

Теперь нам нужно найти скорость точки в этот момент времени. Для этого мы возьмем производную x(t) по времени:

v(t) = dx/dt = -2πνA * sin(2πνt + φ)

где v(t) - скорость точки в момент времени t.

Теперь подставим значения А, ν, φ и x(t) в уравнение скорости:

v(t) = -2π * 1,25 * 6 * sin(2π * 1,25 * t)

Мы знаем, что x(t) = 3 см, и нам нужно найти момент времени t, когда это выполняется. Подставим x(t) = 3 см в уравнение гармонических колебаний:

3 = 6 * cos(2π * 1,25 * t)

Теперь решим это уравнение для t:

cos(2π * 1,25 * t) = 3/6 cos(2π * 1,25 * t) = 0.5

Теперь найдем обратный косинус от 0.5, чтобы найти значение аргумента:

2π * 1,25 * t = arccos(0.5) 2π * 1,25 * t = π/3

Теперь найдем t:

t = (π/3) / (2π * 1,25) t = 1/7,5 t ≈ 0,1333 с

Теперь, когда у нас есть значение времени t, подставим его в уравнение скорости, чтобы найти скорость v(t):

v(t) = -2π * 1,25 * 6 * sin(2π * 1,25 * 0,1333) v(t) ≈ -2,36 см/с

Таким образом, скорость точки в момент, когда её смещение от положения равновесия равно 3 см, составляет примерно -2,36 см/с (отрицательное значение означает, что точка движется в противоположную сторону от положения равновесия).