Question

Частица движется по замкнутой траектории в центральном силовом поле, где её потенциальная энергия U = kr², где k - положительная постоянная, r - расстояние от частицы до центра поля О. Найдите массу частицы, если наименьшее расстояние её до точки O равно r1, а скорость на наибольшем расстоянии от этой точки - v2.

Answer 1

Ответ:

$m = \frac{2*k*r1^{2} }{v2^{2} }$

Объяснение:

Момент силы со стороны поля на частицу относительно центра поля О равен нулю, поэтому относительно центра О момент импульса частицы будет постоянен, причём в точках максимального и минимального удаления вектор скорости частицы будет перпендикулярен радиус-вектору, проведенного к этой частице из точки О, т.к. в этих точках частица ни отдаляется, ни приближается к точке О.

Поэтому L1 = L2 => m*v1τ*r1 = m*v2τ*r2 => m*v1*r1 = m*v2*r2

Отсюда v1 = v2 * r2/r1

По закону сохранения энергии в потенциальном поле:

m*v1²/2 + k*r1² = m*v2²/2 + k*r2²

m/2*(v1² - v2²) = k * (r2² - r1²)

Подставим v1 в последнее  выражение:

$\frac{m}{2}* (v2^{2} *\frac{r2^{2} }{r1^{2} } - v2^{2}) = k * (r2^{2} - r1^{2} )\\\frac{m*v2^{2}}{2}* (\frac{r2^{2} }{r1^{2} } - 1) = k * (r2^{2} - r1^{2} )\\\frac{m*v2^{2}}{2}* \frac{r2^{2} - r1^{2} }{r1^{2} } = k * (r2^{2} - r1^{2} )\\\frac{m*v2^{2}}{2*r1^{2} } = k\\\\m = \frac{2*k*r1^{2} }{v2^{2} }$

Answer 2

Для решения данной задачи, воспользуемся законом сохранения механической энергии.

Наименьшее расстояние от частицы до точки O равно r1, а значит потенциальная энергия в этой точке будет минимальной и равна U1 = kr1^2.

На наибольшем расстоянии от точки O частица имеет наибольшую скорость, а потенциальная энергия в этой точке будет равна нулю, так как U2 = kr2^2 = 0.

Закон сохранения энергии гласит: E1 = E2, где E1 - полная энергия частицы в точке r1, E2 - полная энергия частицы в точке r2 (наибольшее расстояние от точки O).

Полная энергия частицы состоит из потенциальной энергии и кинетической энергии: E = U + K, где E - полная энергия частицы, U - потенциальная энергия, K - кинетическая энергия.

В точке r1, частица находится в покое, поэтому ее кинетическая энергия равна нулю: E1 = U1 + K1 = U1 + 0 = U1.

В точке r2, частица имеет наибольшую скорость v2, поэтому ее кинетическая энергия будет максимальной: E2 = U2 + K2 = 0 + K2.

Таким образом, уравнение сохранения энергии принимает вид: E1 = E2, U1 = 0 + K2, kr1^2 = K2.

Также, известно, что кинетическая энергия частицы связана с ее массой m и скоростью v следующим образом: K = (1/2)mv^2.

Тогда, уравнение kr1^2 = K2 можно переписать следующим образом: kr1^2 = (1/2)mv2^2.

Теперь, выразим массу частицы m: m = (2kr1^2) / v2^2.

Таким образом, масса частицы равна (2kr1^2) / v2^2.