Question

Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с и настигает тело, массой 8 кг, что движется со скоростью 1 м/с. Считая столкновения абсолютно упругим и центральным найти скорости тел после столкновения.

Answer 1

Ответ:

-0,2 м/с (движется назад)

1,8 м/c (вперед)

Объяснение:

Начальные скорости и массы обозначим как v1, v2 и m1, m2.

Перейдем в СЦМ (систему центра масс). Она движется со скоростью

$v_c=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$

Проекции скоростей тела в этой системе отсчета такие:

$u_1=v_1-v_c=\frac{(v_1-v_2)m_2}{m_1+m_2}\\u_2=v_2-v_c=-\frac{(v_1-v_2)m_1}{m_1+m_2}$

Рассмотрим удар. Суммарный импульс системы равен нулю, а энергия в процессе удара сохраняется (удар упругий). Тогда скорости тел (в СЦМ) не могут измениться по модулю, могут лишь поменять направления. Удар центральный, значит направления изменятся на противоположные:

$u_1'=-\frac{(v_1-v_2)m_2}{m_1+m_2}\\u_2'=\frac{(v_1-v_2)m_1}{m_1+m_2}$

Вернемся в исходную систему отсчета:

$v_1'=u_1'+v_c=\frac{(m_1-m_2)v_1 + 2m_2v_2}{m_1+m_2}\\v_2'=u_2'+v_c=\frac{2m_1v_1+(m_2-m_1)v_2}{m_1+m_2}$

Answer 2

Для решения данной задачи можно использовать законы сохранения импульса и кинетической энергии.

Закон сохранения импульса утверждает, что сумма импульсов системы тел до и после столкновения должна быть равна. Импульс (p) вычисляется как произведение массы (m) на скорость (v): p = mv.

Запишем уравнение для сохранения импульса по горизонтальной оси (x):

(масса_1 * скорость_1)_до = (масса_1 * скорость_1)_после + (масса_2 * скорость_2)_после ... (1)

где: масса_1 = 2 кг (масса первого тела) скорость_1 = 3 м/с (скорость первого тела до столкновения) масса_2 = 8 кг (масса второго тела) скорость_2 = 1 м/с (скорость второго тела до столкновения)

Также используем закон сохранения кинетической энергии, который утверждает, что сумма кинетических энергий системы тел до и после столкновения должна быть равна.

(0.5 * масса_1 * скорость_1^2)_до = (0.5 * масса_1 * скорость_1^2)_после + (0.5 * масса_2 * скорость_2^2)_после ... (2)

Подставляем известные значения в уравнения (1) и (2):

(2 * 3) = (2 * v_1) + (8 * v_2) ... (3)

(0.5 * 2 * 3^2) = (0.5 * 2 * v_1^2) + (0.5 * 8 * v_2^2) ... (4)

Уравнения (3) и (4) содержат две неизвестные переменные v_1 и v_2. Найдем их, решив эту систему уравнений.

Умножим уравнение (3) на 2:

4 * 3 = 4 * v_1 + 16 * v_2 ... (5)

Вычтем уравнение (5) из уравнения (4):

9 - 6 = v_1^2 - 4 * v_1 + 4 * v_2^2 - 16 * v_2

3 = v_1^2 - 4 * v_1 + 4 * v_2^2 - 16 * v_2 ... (6)

Теперь у нас есть уравнение (6), которое содержит только переменные v_1 и v_2. Можно решить это квадратное уравнение и найти значения скоростей после столкновения.

Решив уравнение (6), получим:

v_1 = 2 м/с v_2 = 1 м/с

Таким образом, скорости тел после столкновения будут:

Первое тело: 2 м/с Второе тело: 1 м/с