Question

На середину плоской льдины толщиной H = 60 см, плавающей в воде, ставят маленький медный кубик, в результате чего глубина погружения льдины увеличивается на Δh = 0,5 см. Чему станет равна глубина Hп погружения этой льдины, если на её середину вместо медного кубика поставить железный кубик с вдвое большей стороной? Плотность льда ρл = 900 кг/м3 , плотность воды ρв = 1000 кг/м3 , плотность меди ρм = 8900 кг/м3 , плотность железа ρж = 7800 кг/м

Answer 1

Ответ:

57,5 см

Объяснение:

Закон Архимеда:

$F_A = P$, где сила Архимеда $F_A = \rho_1gV_1$, ρ₁ - плотность воды, V₁ - объем погруженной части$\rho_1 S h_2 g= (m_1 + m_2)g$ тела, P - вес тела.

Для одной льдины закон Архимеда:

(1) $\rho_1 g S h_1 =m_2g = \rho_2 S h g$, здесь  ρ₁ - плотность воды, m₂ - масса льда, ρ₂ - плотность льда, S - площадь горизонального сечения льдины, h₁ - глубина погружения льдины в воду, h - высота льдины.

Отсюда: (2) $h_1 = \frac{\rho_2}{\rho_1}h = \frac{900}{1000}60 = 54$ см

Для льдины с медным кубиком:

(3) $\rho_1 S h_2 g = (m_2+m_3)g$, m₂ - масса льда, m₃ - масса медного кубика, h₂ - глубина погружения льдины в воду с установленным медным кубиком.

Подставляем сюда вместо m₂ выражение 1, получаем:

(4) $\rho_1 S (h_2-h_1) = m_3$, где h₂-h₁ =Δh

Теперь запишем закон Архимеда для льдины с железным кубиком:

$\rho_1 S H g = (m_2 + m_4)g$, m₂ - масса льда, m₄ - масса железного кубика, H - глубина погружения льдины в воду с установленным железным кубиком.

Подставляем сюда выражение 1:

(5) $\rho_1 S H = \rho_1 S h_1 + m_4$.

Выразим массу железного кубика через массу медного:

$m_4 = V_4\rho_4 = 8a^3\rho_4$, a - длина ребра куба,   ρ₄ - плотность железа.

$m_3 = V_3 \rho_3 = a^3 \rho_3$, тогда:

(6) $m_4 = 8 \frac{\rho_4}{\rho_3} m_3 \simeq 7 m_3$

Подставляя (6), (4) в (5):

$\rho_1SH = \rho_1Sh_1 + 7\rho_1 S \Delta h$

Упрощая это выражение и подставляя из (2) значение h₁:

$H = h_1 + 7\Delta h = 54 + 7*0.5=57.5$ см.

Answer 2

Для решения этой задачи, используем принцип Архимеда: "Любое тело, погруженное в жидкость, выталкивает из неё объем жидкости, равный объему погруженной части тела".

Пусть V_лед — объем льда, V_воды — объем воды, которые льдина выталкивает при полном погружении в воду. При этом, объем воды, вытесненный медным кубиком, будет равен V_меди, а объем воды, вытесненный железным кубиком, будет равен V_железа.

Тогда можно записать соотношение для плотности льда и плотности воды:

V_лед / V_воды = ρ_воды / ρ_льда

Также можно записать соотношение для меди и воды, а также для железа и воды:

V_меди / V_воды = ρ_воды / ρ_меди V_железа / V_воды = ρ_воды / ρ_железа

Так как ледина толщиной H = 60 см (или 0,6 м) плавает в воде, выталкивая при этом объем воды V_воды, то при погружении на Δh = 0,5 см (или 0,005 м) она выталкивает объем V_меди.

Теперь можем найти H_п — глубину погружения льдины с железным кубиком:

H_п = H + Δh = 0,6 м + 0,005 м = 0,605 м

Теперь можем найти V_меди и V_железа:

V_меди = V_воды * (ρ_меди / ρ_воды) V_железа = V_воды * (ρ_железа / ρ_воды)

Найдем V_воды:

V_воды = V_лед / (ρ_воды / ρ_льда)

V_воды = 0,6 м * (900 кг/м³ / 1000 кг/м³) = 0,54 м³

Теперь можем найти V_меди и V_железа:

V_меди = 0,54 м³ * (8900 кг/м³ / 1000 кг/м³) = 4,806 м³ V_железа = 0,54 м³ * (7800 кг/м³ / 1000 кг/м³) = 4,212 м³

Теперь можем найти H_п — глубину погружения льдины с железным кубиком:

H_п = V_воды / S_поверхности_льда

S_поверхности_льда — это площадь поверхности льда. Поскольку льдина плоская, то её площадь равна площади квадрата, который можно найти, зная длину его стороны:

S_поверхности_льда = a^2

где a — сторона квадрата.

Для исходной ситуации, когда медный кубик был на поверхности, можем записать:

H = V_воды / a^2

Теперь, когда на поверхности льдины находится железный кубик, можно записать:

H_п = V_воды / a_железа^2

где a_железа — сторона квадрата, образованного льдом с железным кубиком на поверхности.

Теперь можем найти H_п:

H_п = H * (a^2 / a_железа^2)

H_п = 0,6 м * (a^2 / a_железа^2)

H_п = 0,6 м * (a^2 / (2a)^2)

H_п = 0,6 м * (1 / 4)

H_п = 0,15 м

Таким образом, глубина погружения льдины с железным кубиком будет равна 0,15 м или 15 см.