Question

Движение частицы в плоскости XOY описывается уравнениями (x – метрах, t – в секундах): x = 2 + 4t2, y = 5t – 0,1t3. В момент времени t = 10 с модуль полного ускорения частицы равен 1) 2 м/с2 2) 6 м/с2 3) 8 м/с2 4) 10 м/с2

Answer 1

Ответ:

4) 10 м/с²

Объяснение:

Найдем уравнения для соответствующих проекций ускорения, дважды продифференцировав выражения для координат:

$\displaystyle a_x(t)=\frac{d^2}{dt^2}x(t)=8$ м/с²

$\displaystyle a_y(t)=\frac{d^2}{dt^2}y(t)=-0.6t$ м/с²

Для указанного момента времени:

$\displaystyle a_x=8$ м/с²

$\displaystyle a_y=-0.6*10=-6$ м/с²

Модуль полного ускорения:

$\displaystyle a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}=\sqrt{8^2+(-6)^2}=10$ м/с².

Answer 2

Для определения полного ускорения частицы, нам нужно найти вторую производную вектора положения частицы по времени и найти его модуль.

Даны уравнения положения частицы: $x = 2 + 4t^2$ $y = 5t - 0.1t^3$

Для нахождения вторых производных $x$ и $y$ по времени сначала найдем первые производные:

$\dot{x} = \frac{dx}{dt} = 8t$ $\dot{y} = \frac{dy}{dt} = 5 - 0.3t^2$

Теперь найдем вторые производные:

$\ddot{x} = \frac{d\dot{x}}{dt} = 8$ $\ddot{y} = \frac{d\dot{y}}{dt} = -0.6t$

Полное ускорение будет векторной величиной, и его можно найти как:

$\vec{a} = \ddot{x} \hat{i} + \ddot{y} \hat{j}$

где $\hat{i}$ и $\hat{j}$ - единичные векторы в направлениях осей $x$ и $y$ соответственно.

Модуль полного ускорения будет равен:

$a = \sqrt{\ddot{x}^2 + \ddot{y}^2}$

Подставляя значения $\ddot{x}$ и $\ddot{y}$:

$a = \sqrt{8^2 + (-0.6t)^2} = \sqrt{64 + 0.36t^2}$

Теперь, в момент времени $t = 10$ секунд, подставим $t = 10$ в уравнение для $a$:

$a = \sqrt{64 + 0.36 \cdot 10^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \, \text{м/с}^2$

Ответ: 4) 10 м/с²