Question

2. На доске стоит цилиндр высотой һи диаметром d = h/2. Доску начинают медленно поднимать за один конец. Что произойдет раньше: опроки- нется ли цилиндр или начнет скользить? Коэф- фициент трения между поверхностями цилиндра и доски и = 0,4.

Answer 1

Ответ:Начнет скользить. Упадет он только при угле arctg(d/2d)

Answer 2

Чтобы определить, что произойдет раньше - опрокидывание цилиндра или начало его скольжения, давайте рассмотрим оба случая.

1. Опрокидывание цилиндра: Когда доска начинает подниматься за одним концом, цилиндр будет пытаться опрокинуться. Для определения момента, когда опрокидывание начнется, нужно рассмотреть условие равновесия моментов сил. Момент силы трения должен быть достаточно большим, чтобы предотвратить опрокидывание цилиндра.

Момент силы трения: $M_{\text{тр}} = \mu \cdot F_{\text{н}} \cdot r$

Где:

• $\mu$ - коэффициент трения (в данном случае 0,4)
• $F_{\text{н}}$ - нормальная сила (в данном случае вес цилиндра)
• $r$ - радиус цилиндра (половина диаметра)

Момент силы тяжести цилиндра: $M_{\text{тяж}} = m \cdot g \cdot \frac{h}{2}$

Где:

• $m$ - масса цилиндра
• $g$ - ускорение свободного падения
• $\frac{h}{2}$ - расстояние от центра масс до оси вращения (доски)

Для равновесия момент силы трения должен быть больше или равен моменту силы тяжести цилиндра:

$\mu \cdot F_{\text{н}} \cdot r \geq m \cdot g \cdot \frac{h}{2}$

Подставляя выражение для нормальной силы $F_{\text{н}} = m \cdot g$, у нас получается:

$\mu \cdot m \cdot g \cdot r \geq m \cdot g \cdot \frac{h}{2}$

Сокращая массу и ускорение свободного падения, получаем:

$\mu \cdot r \geq \frac{h}{2}$

Подставляя значение коэффициента трения $\mu = 0,4$ и радиуса $r = \frac{h}{4}$ (половина диаметра), получим:

$0,4 \cdot \frac{h}{4} \geq \frac{h}{2}$

$0,1 \cdot h \geq \frac{h}{2}$

$0,1 \geq \frac{1}{2}$

Условие не выполняется, следовательно, цилиндр не опрокинется.

2. Начало скольжения: Теперь давайте рассмотрим, когда начнется скольжение цилиндра. Для этого нам нужно рассмотреть горизонтальную компоненту силы трения и сравнить её с горизонтальной компонентой силы тяжести.

Горизонтальная компонента силы трения: $F_{\text{тр}} = \mu \cdot F_{\text{н}}$

Горизонтальная компонента силы тяжести: $F_{\text{гор}} = m \cdot g \cdot \sin(\theta)$

Где $\theta$ - угол между вертикалью и наклонной плоскостью.

Для начала скольжения $F_{\text{тр}}$ должна быть равна $F_{\text{гор}}$:

$\mu \cdot F_{\text{н}} = m \cdot g \cdot \sin(\theta)$

Подставляя значение нормальной силы $F_{\text{н}} = m \cdot g$, получаем:

$\mu \cdot m \cdot g = m \cdot g \cdot \sin(\theta)$

Сокращая массу и ускорение свободного падения:

$\mu = \sin(\theta)$

Подставляя значение коэффициента трения $\mu = 0,4$, получаем:

$0,4 = \sin(\theta)$

Найдем угол $\theta$:

$\theta = \arcsin(0,4) \approx 23,6^\circ$

Таким образом, начало скольжения произойдет, когда угол наклона доски достигнет примерно 23,6 градусов.

Итак, в данной ситуации цилиндр не опрокинется, и начало скольжения произойдет, когда угол наклона доски будет около 23,6 градусов.