Question

На каком расстоянии x от центра надо подвесить тонкий стержень заданной длины l , чтобы получить физический маятник, колеблющийся с максимальной частотой. Чему равна эта частота?

Answer 1

Ответ:

Надо найти минимум величины 2π√(J/(mgh)), где J - момент инерции,

а h - расстояние от ЦТ до точки подвеса.

По теореме Штайнера J=ml²/12+mx²=m(l²+12x²)/12; h=x

T(x)=2π√((l²+12x²)/(12gx)). Очевидно, что всё выражение можно не дифференцировать,

а посчитать только ((l²+12x²)/(12gx))'=0; да еще и поделить почленно.

(l²/12gx)'+(x/g)'=0; (l²/12g)(-1/x²)+(1/g)=0; 1/x²=12/l², x=l√3/6.

Answer 2

Для определения расстояния x от центра, на котором нужно подвесить тонкий стержень длины l, чтобы получить физический маятник, колеблющийся с максимальной частотой, мы можем использовать формулу для периода колебаний математического маятника:

T = 2π√(l/g),

где T - период колебаний, l - длина маятника, g - ускорение свободного падения (приближенно равно 9,81 м/с² на поверхности Земли).

Мы хотим максимизировать частоту, а частота (f) обратно пропорциональна периоду (T):

f = 1/T.

Чтобы максимизировать f, мы должны минимизировать T. Таким образом, чтобы найти расстояние x, на котором нужно подвесить стержень для максимальной частоты, мы должны минимизировать период T:

d(T)/dx = d(2π√(l/g))/dx.

Теперь дифференцируем по x:

d(T)/dx = 2π/g * (1/2) * (l/g)^(-1/2) * d(l)/dx,

где d(l)/dx - это изменение длины стержня при изменении расстояния x.

Чтобы минимизировать T, нам нужно, чтобы d(T)/dx было равно нулю. Это достигается, когда d(l)/dx = 0.

Таким образом, максимальная частота будет достигнута, когда стержень подвешен на расстоянии x от центра, так что изменение его длины не влияет на период колебаний. Это означает, что x может быть любым, и частота будет максимальной и равна:

f = 1/T = 1/(2π√(l/g)).

Это формула для максимальной частоты физического маятника.