Question

Груз свободно сбрасывают с высоты 20 метров, в тот же момент времени по той же вертикали второй груз подбрасывают с поверхности земли со скоростью 20 м/с. Через какое время и на какой высоте произойдет столкновение? Какой скоростью будут обладать каждое тело в момент перед столкновением? Рассчитайте полную механическую энергию и полный импульс системы тел в момент перед столкновением, если грузы обладают одинаковой массой 5 кг

Answer 1

Ответ:

Из­ме­не­ние ки­не­ти­че­ской энер­гии груза равно \Delta E_к= дробь, чис­ли­тель — m\upsilon в сте­пе­ни 2 , зна­ме­на­тель — 2 минус 0= дробь, чис­ли­тель — m\upsilon в сте­пе­ни 2 , зна­ме­на­тель — 2 . Сила со­про­тив­ле­ния со­вер­ша­ет от­ри­ца­тель­ную ра­бо­ту, рав­ную из­ме­не­нию пол­ной ме­ха­ни­че­ской энер­гии \Delta E=\Delta E_п плюс \Delta E_к=0 минус mgh плюс дробь, чис­ли­тель — m\upsilon в сте­пе­ни 2 , зна­ме­на­тель — 2 .

Таким об­ра­зом, от­но­ше­ние из­ме­не­ния ки­не­ти­че­ской энер­гии груза к ра­бо­те силы со­про­тив­ле­ния воз­ду­ха равно:

дробь, чис­ли­тель — \Delta E_к, зна­ме­на­тель — \Delta E = дробь, чис­ли­тель — дробь, чис­ли­тель — m\upsilon в сте­пе­ни 2 , зна­ме­на­тель — 2 , зна­ме­на­тель — { минус mgh плюс дробь, чис­ли­тель — m\upsilon в сте­пе­ни 2 , зна­ме­на­тель — 2 }= минус дробь, чис­ли­тель — \upsilon в сте­пе­ни 2 , зна­ме­на­тель — 2gh минус \upsilon в сте­пе­ни 2 =

= минус дробь, чис­ли­тель — (20\text{м/с}) в сте­пе­ни 2 , зна­ме­на­тель — 2 умно­жить на 10\text{м/с в сте­пе­ни 2 умно­жить на 40\text{м} минус (20\text{м/с}) в сте­пе­ни 2 }= минус 1.

Ответ: −1.

Answer 2

Для решения этой задачи используем законы сохранения механической энергии и импульса.

1. Вычислим время, через которое произойдет столкновение:

Груз, брошенный с высоты, будет двигаться под действием только гравитации, поэтому используем уравнение свободного падения:

$h = \frac{1}{2} g t^2$

где $h$ - высота (20 метров), $g$ - ускорение свободного падения (приближенно 9.81 м/с²), $t$ - время.

Подставим значения и решим уравнение:

$20 = \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot t^2$

$40 = 9.81 \cdot t^2$

$t^2 = \frac{40}{9.81}$

$t \approx 2.03\,сек$

2. Теперь вычислим высоту, на которой произойдет столкновение:

Груз, подброшенный с земли, будет двигаться равномерно ускоренно. Мы можем использовать уравнение движения:

$h = v_0t + \frac{1}{2} a t^2$

где $h$ - высота, $v_0$ - начальная скорость (20 м/с вверх), $a$ - ускорение (гравитация, противоположно начальной скорости, т.е., -9.81 м/с²), $t$ - время (рассчитанное ранее).

Подставим значения и решим уравнение:

$h = 20 \cdot 2.03 - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot (2.03)^2$

$h \approx 20.44 - 20.03$

$h \approx 0.41\,м$

3. Теперь рассчитаем скорость каждого тела в момент столкновения:

Для груза, который свободно падал, используем уравнение для скорости при свободном падении:

$v = gt$

$v \approx 9.81 \cdot 2.03$

$v \approx 19.94\,м/с$

Для груза, подброшенного с земли, начальная скорость равна 20 м/с вверх, и он двигается противоположно гравитации, поэтому его скорость уменьшится на 9.81 м/с каждую секунду. Таким образом, его скорость в момент столкновения будет:

$v = 20 - 9.81 \cdot 2.03$

$v \approx 20 - 19.94$

$v \approx 0.06\,м/с$

4. Рассчитаем полную механическую энергию и полный импульс системы тел в момент перед столкновением:

Для груза, который свободно падал:

Масса ($m$) = 5 кг, Скорость ($v$) = 19.94 м/с.

Механическая энергия ($E$) = $\frac{1}{2}mv^2$

$E = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (19.94)^2$

$E \approx 1990.5\,Дж$

Импульс ($P$) = $mv$

$P = 5 \cdot 19.94$

$P \approx 99.7\,кг \cdot м/с$

Для груза, подброшенного с земли:

Масса ($m$) = 5 кг, Скорость ($v$) = 0.06 м/с.

Механическая энергия ($E$) = $\frac{1}{2}mv^2$

$E = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (0.06)^2$

$E \approx 0.0045\,Дж$

Импульс ($P$) = $mv$

$P = 5 \cdot 0.06$

$P \approx 0.3\,кг \cdot м/с$

Полная механическая энергия системы тел в момент столкновения будет суммой механических энергий каждого груза:

$E_{\text{системы}} = E_1 + E_2$

$E_{\text{системы}} \approx 1990.5 + 0.0045\,Дж$

$E_{\text{системы}} \approx 1990.5\,Дж$

Полный импульс системы тел в момент столкновения будет суммой импульсов каждого груза:

$P_{\text{системы}} = P_1 + P_2$

$P_{\text{системы}} \approx 99.7 + 0.3\,кг \cdot м/с$

$P_{\text{системы}} \approx 100\,кг \cdot м/с$