Question

Определить начальную фазу колебаний, если максимальное ускорение точки равно 50 см / с ^ 3, период колебаний 4 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени составляет 20 см.

Answer 1

Ответ: Х(t) = А*cos (ωt+φo) - уравнение гармонических колебаний,

где А - амплитуда, ω - циклическая частота, φo - начальная фаза.

ω = 2π/Т, где Т - период колебаний.

При t=0  X(0)=A*cos(φo) = 20 см = 0,2 метра - по условию задачи.

Ускорение - это вторая производная смещения Х по времени,

Х' = - A*ω*sin(ωt+φo), X'' = - A*ω^2 * cos(ωt+φo), откуда видно, что

максимальное ускорение а(max) = A*ω^2, откуда А = а(max)/ω^2.

Т.к. ω = 2π/Т, то А = а(max) * Т² / (4*π²).  Поскольку X(0)=A*cos(φo),

то X(0) = (а(max) * Т² / (4*π²) )  * cos(φo), откуда

cos(φo) = 4*π²*Х(0) / (а(max) * Т²) =  4*π²*0,2/(0,5*4²) = π²/10,

откуда начальная фаза φo = arccos (π²/10) ≈ 9° (примерно 9 градусов)

Answer 2

Для определения начальной фазы колебаний требуется учесть ускорение, период и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени.

Ускорение можно выразить через угловую частоту $\omega$ (или частоту $f$) используя формулу $a_{\max} = \omega^2 A$, где $A$ - амплитуда колебаний:

$$\omega = \sqrt{\frac{a_{\max}}{A}}$$

Так как период $T$ связан с угловой частотой формулой $T = \frac{2\pi}{\omega}$, мы можем выразить угловую частоту через период:

$$\omega = \frac{2\pi}{T}$$

Теперь мы можем найти угловую частоту:

$$\omega = \frac{2\pi}{4 \text{ с}} = \frac{\pi}{2} \text{ рад/с}$$

Так как мы знаем угловую частоту, мы можем выразить фазу колебаний в момент времени $t = 0$ (начальный момент времени) используя формулу для гармонических колебаний:

$$x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$$

где:

• $x(t)$ - смещение в момент времени $t$,
• $A$ - амплитуда колебаний,
• $\omega$ - угловая частота,
• $\phi$ - начальная фаза.

Мы знаем, что смещение в начальный момент времени $t = 0$ составляет 20 см, и амплитуда $A$ равна половине смещения от положения равновесия:

$$A = \frac{20 \text{ см}}{2} = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$$

Теперь можем найти начальную фазу $\phi$:

$$\phi = \arccos\left(\frac{x(0)}{A}\right) = \arccos\left(\frac{20 \text{ см}}{10 \text{ см}}\right) = \arccos(2) \approx \pi$$

Таким образом, начальная фаза колебаний составляет примерно $\pi$ радиан (или примерно 180 градусов).