Question

Мяч бросили с поверхности земли под углом к горизонту. Его максимальная и минимальная скорости в полёте отличаются в 2 раза. Определите, под каким углом к горизонту был брошен мяч (в градусах).

Answer 1

Мяч был брошен к горизонту под углом в 60 градусов

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы физики движения тела под углом к горизонту. Пусть \( \theta \) - угол броска мяча относительно горизонта, \( v_0 \) - начальная скорость броска мяча, \( g \) - ускорение свободного падения (принимаем \( g \approx 9.8 \ м/с^2 \)).

Максимальная высота \( h \) достигается в тот момент, когда вертикальная составляющая скорости мяча равна нулю. Поэтому мы можем использовать уравнение:

\[ v_{y} = v_0 \cdot \sin(\theta) - g \cdot t = 0 \]

Решая это уравнение относительно времени \( t \), получаем:

\[ t = \frac{v_0 \cdot \sin(\theta)}{g} \]

Максимальная высота \( h \) может быть найдена с использованием уравнения равноускоренного движения:

\[ h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \]

Теперь, минимальная высота достигается в тот момент, когда мяч вернется на поверхность земли. Это произойдет, когда вертикальная составляющая скорости будет равна начальной вертикальной скорости (но с противоположным направлением). Таким образом, можно написать уравнение:

\[ v_{y} = v_0 \cdot \sin(\theta) + g \cdot t' \]

где \( t' \) - время, за которое мяч вернется на поверхность. Также \( t' = t \), так как полет мяча симметричен относительно вершины траектории.

Мы знаем, что максимальная и минимальная скорости отличаются в 2 раза. Максимальная вертикальная скорость \( v_{y_{\text{max}}} \) достигается в начальный момент времени и равна \( v_0 \cdot \sin(\theta) \), а минимальная вертикальная скорость \( v_{y_{\text{min}}} \) равна \( -v_0 \cdot \sin(\theta) \) (с противоположным направлением). Таким образом,

\[ v_{y_{\text{max}}} = v_0 \cdot \sin(\theta) \]

\[ v_{y_{\text{min}}} = -v_0 \cdot \sin(\theta) \]

Условие, что эти скорости отличаются в 2 раза:

\[ v_{y_{\text{max}}} = 2 \cdot |v_{y_{\text{min}}}|\]

Подставляем значения:

\[ v_0 \cdot \sin(\theta) = 2 \cdot |-v_0 \cdot \sin(\theta)| \]

Теперь решаем это уравнение:

\[ \sin(\theta) = 2 \cdot |\sin(\theta)| \]

Уравнение имеет два решения: \( \sin(\theta) = 0 \) и \( \sin(\theta) = \frac{1}{2} \).

1. Если \( \sin(\theta) = 0 \), то \( \theta = 0 \) (бросок под углом 0 градусов - вертикально вверх). 2. Если \( \sin(\theta) = \frac{1}{2} \), то \( \theta = 30^\circ \) (бросок под углом 30 градусов).

Таким образом, мяч был брошен под углом либо 0 градусов (вертикально вверх) либо 30 градусов к горизонту.