Question

Как доказать тиорему пифагора

Answer 1

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

a2 + b2 = c2,

где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

a = √c2 − b2

b = √c2 − a2

c = √a2 + b2

Запоминаем

в любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин двух катетов равна квадрату длины гипотенузы.

Для треугольника со сторонами a, b и c, где c — большая сторона, действуют следующие правила:

если c2 < a2 + b2, значит угол, противолежащий стороне c, является острым.

если c2 = a2 + b2, значит угол, противолежащий стороне c, является прямым.

если c2 > a2 +b2, значит угол, противолежащий стороне c, является тупым.

Записывайтесь на курсы обучения математике для школьников с 1 по 11 классы!

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

иллюстрация доказательства теоремы Пифагора

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Доказать: a2 + b2 = c2.

Пошаговое доказательство:

Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.

Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:

∠ACB =∠CHA = 90º,

∠A — общий.

Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:

∠ACB =∠CHB = 90º,

∠B — общий.

Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.

Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.

Значит a2 = c * HB, b2 = c * AH.

Сложим полученные равенства:

a2 + b2 = c * HB + c * AH

a2 + b2 = c * (HB + AH)

a2 + b2 = c * AB

a2 + b2 = c * c

a2 + b2 = c2

Теорема доказана.

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.

Дано: ∆ABC

прямоугольный треугольник

Доказать: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.

Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.

доказательство обратной теоремы Пифагора шаг 1 и 2

Проведём отрезок A₁B₁.

Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.

доказательство обратной теоремы Пифагора шаг 3 и 4

В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁2 = A₁C₁2 + B₁C₁2.

Таким образом получится:

применение теоремы Пифагора

Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:

C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,

A₁B₁ = AB по доказанному результату.

Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.

Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.

Обратная теорема доказана.

Преподаватель Skysmart — тот, кто вам нужен

Оценки в школе станут лучше, а ребенок — более уверенным в себе

Преподаватель Skysmart — тот, кто вам нужен

Узнать больше

Решение задач

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение у гипотенузы?

Как решаем:

Пусть катеты a = 6 и b = 8.

По теореме Пифагора c2 = a2 + b2.

Подставим значения a и b в формулу:

c2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100

c = √100 = 10.

Ответ: 10.

Задание 2. Является ли треугольник со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным?

Как решаем:

Выберем наибольшую сторону и проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

112 = 82 + 92

121 ≠ 145

Ответ: треугольник не является прямоугольным

Answer 2

Доказательство теоремы Пифагора

Доказательство теоремы Пифагора можно представить несколькими способами, но одним из наиболее понятных и широко используемых является геометрическое доказательство.

Геометрическое доказательство: 1. Предположение: Пусть у нас есть прямоугольный треугольник с катетами a и b, и гипотенузой c. 2. Квадраты на катетах: Построим квадраты на каждом катете. Площади этих квадратов будут равны a^2 и b^2 соответственно. 3. Квадрат на гипотенузе: Построим квадрат на гипотенузе. Площадь этого квадрата будет равна c^2. 4. Доказательство: Теперь, если треугольник прямоугольный, то сумма площадей квадратов на катетах равна площади квадрата на гипотенузе, то есть a^2 + b^2 = c^2.

Пример: Если у нас есть прямоугольный треугольник с катетами длиной 3 и 4, и гипотенузой длиной 5, то мы можем убедиться, что 3^2 + 4^2 = 5^2, что подтверждает теорему Пифагора.

Итог: Таким образом, геометрическое доказательство теоремы Пифагора основано на свойствах прямоугольных треугольников и площадей квадратов на их сторонах.