Question

Блок, имеющий форму диска массой 400 г, вращается под действием сил натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массами 300 г и 700 г. Определите силы натяжения нити по обе стороны блока и ускорение, с которым движутся грузы.

Answer 1

Дано:

m = 0,4 кг

m1 = 0,3 кг

m2 = 0,7 кг

g = 10 м/с²

Т1, Т2, а - ?

Решение:

Составим уравнения по Второму закону Ньютона для всех трёх тел (ось ОY направим вверх):

T1 - m1g = m1a

T2 - m2g = -m2a

I*ε = Μ - для блока

Ι = mr²/2 - момент инерции для диска

Μ = (Т2 - Т1)*r - момент силы (T2 стремится повернуть блок против часовой стрелки, потому знак "+", Т1 - по часовой, потому знак "-").

(mr²/2)*ε = (Т2 - Т1)*r

Видоизменим уравнение:

(mr²/2)*(ε*r)/r = (Т2- Т1)*r, где ε*r = a - ускорение грузов

(mr²/2)*а/r = (Т2 - Т1)*r

(mr²/2)*а/r² = (Т2- Т1)

ma/2 = (Т2 - Т1)

Теперь вычтем из первого уравнения второе, подставим выражение для (Т2 - Т1) и выразим ускорение:

T1 - m1g - (T2 - m2g) = m1a + m2a

-(Т2 - Т1) - m1g + m2g = m1a + m2a

-ma/2 + g(m2 - m1) = m1a + m2a

-ma/2 - m1a - m2a = -g(m2 - m1)

-a*(m/2 + m1 + m2) = g(m1 - m2)

-a = g(m1 - m2) / (m/2 + m1 + m2) = 10*(0,3 - 0,7) / (0,4/2 + 0,3 + 0,7) = -4/1,2 = -(4/1)*(10/12) = -10/3 = -3,33... = -3,33 м/с²

а = 3,33 м/с²

Теперь находим силы натяжения:

T1 = m1a + m1g = m1*(a + g) = 0,3*(10/3 + 10) = (3/10)*(10/3 + 30/3) = (3/10)*(40/3) = 4 H

T2 = m2*(g - а) = 0,7*(10 - 10/3) = (7/10)*(30/3 - 10/3) = (7/10)*(20/3) = 14/3 = 4,66... = 4,67 H

Ответ: а = 3,33 м/с²; Т1 = 4 Н; Т2 = 4,67 Н.

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем использовать второй закон Ньютона для вращательного движения.

Обозначим массу блока как m1 = 0.4 кг, массу первого груза как m2 = 0.3 кг, массу второго груза как m3 = 0.7 кг.

Сила натяжения нити, действующая на блок, создает ускорение вращения блока. Известно, что момент инерции блока I = 0.5 * m1 * r^2, где r - радиус блока.

Сумма моментов сил, действующих на блок, равна моменту инерции блока, умноженному на его угловое ускорение:

τ = I * α,

где τ - сумма моментов сил, α - угловое ускорение блока.

Силы натяжения нити, действующие на блок, вызывают моменты сил, равные:

τ1 = r * T1, τ2 = r * T2,

где T1 и T2 - силы натяжения нити по обе стороны блока.

Приравняем сумму моментов сил к моменту инерции блока:

τ1 + τ2 = I * α.

Подставим значения и преобразуем уравнение:

r * T1 + r * T2 = 0.5 * m1 * r^2 * α.

T1 + T2 = 0.5 * m1 * r * α.

Также, сумма всех сил, действующих на блок, равна произведению массы блока на его ускорение:

T1 + T2 - m1 * g = m1 * a,

где g - ускорение свободного падения, a - ускорение блока.

Теперь мы имеем систему уравнений:

T1 + T2 = 0.5 * m1 * r * α, T1 + T2 - m1 * g = m1 * a.

Для решения системы уравнений необходимо знать угловое ускорение блока или ускорение грузов. В задаче нет информации об этом параметре. Если предположить, что грузы движутся с постоянным ускорением, можно определить ускорение грузов, используя второй закон Ньютона:

T1 - m2 * g = m2 * a, T2 - m3 * g = m3 * a.

Теперь у нас есть система из 4 уравнений с 4 неизвестными (T1, T2, α и a). Мы можем решить эту систему численно, используя значения масс и других известных параметров.