Question

Шарик массой m помещен в высокий сосуд с некоторой жидкостью и отпущен без толчка. Плотность жидкости в n раз меньше плотности шарика. При движении шарика возникает сила сопротивления среды, пропорциональная скорости движения: F=kv. Определить зависимость скорости шарика от времени v(t)

Answer 1

Ответ:

Для решения задачи воспользуемся уравнением движения тела в среде с силой сопротивления:

m * a = m * g - k * v,

где m - масса шарика, g - ускорение свободного падения, k - коэффициент сопротивления среды, v - скорость, a - ускорение.

Подставляя выражение для ускорения a = dv/dt, получаем:

m * dv/dt = m * g - k * v.

Переносим все слагаемые с v на одну сторону уравнения:

dv / (m * g - k * v) = dt / m

Интегрируя это уравнение от 0 до v и от 0 до t, получаем:

-ln(m * g - k * v) = -(k/m) * t + C,

где С - постоянная интегрирования, которую можно определить из начальных условий задачи.

Решая это уравнение относительно скорости v, получаем:

v(t) = (m * g - exp(-k/m * t + C)) / (k / m)

Найдем постоянную С из начальных условий. В начальный момент времени шарик находится в покое, то есть его начальная скорость равна нулю:

v(0) = 0 = (m * g - exp(C)) / (k / m)

Отсюда находим постоянную С:

exp(C) = m * g * (k / m)

C = ln(m * g * (k / m))

Подставляем эту постоянную в выражение для скорости:

v(t) = (m * g - exp(-k/m * t + ln(m * g * (k / m)))) / (k / m)

Упрощая выражение, получаем:

v(t) = m * g / k - (m * g - v(0)) * exp(-k/m * t) / (k / m)

Таким образом, скорость шарика в жидкости с силой сопротивления, пропорциональной скорости движения, будет убывать экспоненциально со временем. В начале движения скорость будет максимальной и равна скорости свободного падения, а при достижении терминальной скорости, скорость будет постоянной и равной m * g / k.