Question

На материальную точку массой m действует сила F= kti , где k - положительная постоянная. В начальный момент временискорость точкиv= v0i . В какой момент времени модуль скороститочки будет в два раза больше первоначального модуля скорости?

Answer 1

1. Одно только не понимаю - а что означает буква i?
Согласно Второму Закону Деда Ньютона, ускорение тела, на которое действует сила F равна:
a = F/m = k*t/m
С другой стороны, ускорение есть производная от скорости:
dV/dt = a = kt/m
Получили дифференциальное уравнение. Решаем:
dV = (kt/m)dt
V(t) = (k/2m)*t^2 + C
Константу С находим из начального условия:
V(0) = (k/2m)*0^2 + C = C = V0
Итого получаем:
V(t) = (k/2m)*t^2 + V0
Теперь найдем момент времени t при котором: V(t) = 2V0
или
(k/2m)*t^2 + V0 = 2V0
(k/2m)*t^2 = V0
t = sqrt(2mV0/k)
2. Если есть коэффициент трения мю, то сила трения равна:
Ft = мю*T
Где Т - сила реакции опоры. Чтобы ее найти нарисуйте рисунок: наклонная плоскость и кирпич, лежащий на ней. Далее нарисуйте вектор силы тяжести mg приложенной к кирпичу и направленной вертикально вниз.
Теперь нарисуем систему координат, связанную с кирпичем, так, что ось Ох будет идти вдоль наклонной плоскости, ось Оу перпендикулярно наклонной плоскости, а начало координат находится в кирпиче. Теперь посмотрите, угол между вектором силы тяжести mg и осью Ох составляет 90 - а = 60 градусов, а угол между осью Оу и вектором силы тяжести равен, соответственно, 30 градусов. Так что проекция силы тяжести на ось Оу составляет:
mgy = mg*cos(30)
Эта проекция является той силой, с которой кирпич действует на опору (плоскость) . Согласно Третьему Закону Ньютона, сила реакции опоры Т тоже равна:
T = mg*cos(30)
Окончательно, сила трения действующая на кирпич равна:
Ft = мю*Т = мю*mg*cos(30)
P.S. Тут, однако, есть некоторая загвоздка - дело в том, что если кирпич преодолее силу трения и начнет скользить вниз, то сила трения заметно изменится. Дело в том, что сила трения покоя (т. е. до начала движения кирпича) несколько больше чем сила трения скольжения. Однако коэффициент трения в задаче указан один - поэтому считаем, что разницу между силами трения покоя и скольжения мы не учитываем.

Answer 2

Начнем с закона движения материальной точки:

F = ma

где F - сила, действующая на точку, m - ее масса, а - ускорение, которое она приобретает под действием силы.

В нашем случае сила F равна kti, поэтому ускорение a будет:

a = F/m = kti/m

Теперь мы можем найти скорость v в любой момент времени t, используя уравнение для равноускоренного движения:

v = v0 + at

В нашем случае начальная скорость v0 равна v0i.

Чтобы найти момент времени, когда скорость будет в два раза больше, мы можем использовать закон сохранения энергии, который гласит:

E = 1/2mv^2

где Е - полная механическая энергия системы, которая не меняется со временем в отсутствие внешних сил.

Мы можем записать этот закон в начальный и конечный моменты времени и приравнять энергии, чтобы решить уравнение и найти момент времени, когда скорость будет в два раза больше:

1/2m(v0i)^2 = 1/2m(v)^2

Упрощая, получаем:

(v)^2 = (v0i)^2 + 2kt/m * t

Когда скорость станет в два раза больше, мы можем записать уравнение в следующем виде:

2(v0i)^2 = (v0i)^2 + 2kt/m * t2

t2 = (v0i)^2 / (2k)

Таким образом, момент времени, когда скорость будет в два раза больше, равен:

t = √(2(v0i)^2 / k)

Ответ: t = √(2(v0i)^2 / k)