Question

Стержень длиной 80 см вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, которая делит его на части 1:3. Линейная скорость левого конца стержня v1=0,5 м/с. Чему равна линейная скорость v2 правого, более длинного конца стержня? С какой частотой вращается стержень? Сравните центростремительные ускорения концов стержня.

Answer 1

Дано:
L=80 см=0,8 м
R₁:R₂=1:3
v₁=0.5 м/с
Найти:
v₂,n, сравнить a₁ и а₂
Решение:
Найдем R₁ и R₂
R₁=L/(1+3)=0,8/4=0,2 (м)
R₂=L-R₁=0,8-0,2=0,6 (м)
Формула периода
$T= \frac{2 \pi R}{v}$
Частота
$n= \frac{1}{T} = \frac{v}{2 \pi R}$
$n= \frac{v_1}{2 \pi R_1}= \frac{0,5}{2 \pi *0,2}=0,4$
$v=2 \pi Rn \\ v_2=2 \pi R_2n=2 \pi *0.6*0.4=0.75$
Формула центростремительного ускорения
$a= \frac{v^2}{R} \\ a_1= \frac{v_1^2}{R_1}\\ a_2= \frac{v_2^2}{R_2} \\ \frac{a_1}{a_2}= \frac{v_1^2*R_2}{R_1*v_2^2}= \frac{0.5^2*0.6}{0.2*0.75^2} =1,3$
Ответ: 0,75 м/с; 0,4 с⁻¹; центростремительное ускорение короткого конца в 1,3 раз а больше.

Answer 2

Используем закон сохранения момента импульса: момент импульса системы должен сохраняться при вращении вокруг вертикальной оси. Пусть масса стержня равна m, его длина равна L = 80 см = 0.8 м. Тогда момент импульса системы будет равен:

L1 = 0.2L - момент импульса левой части стержня L2 = 0.8L - момент импульса правой части стержня

Так как стержень вращается в горизонтальной плоскости, то момент импульса системы относительно вертикальной оси не меняется. Поэтому, мы можем записать:

L1 = L2/3

Отсюда:

L2 = 3L1 = 0.6 м

Линейная скорость левого конца стержня v1 = 0.5 м/с, поэтому его угловая скорость будет:

ω = v1/L1 = 0.5/0.2 = 2.5 рад/с

Линейная скорость правого конца стержня v2 будет:

v2 = L2ω = 0.6*2.5 = 1.5 м/с

Центростремительное ускорение для каждой точки стержня можно найти с помощью формулы:

a = ω^2r

где r - радиус кривизны траектории движения точки. Для левого конца стержня r = L1/2, для правого конца стержня r = L2/2.

Ускорение левого конца стержня будет:

a1 = ω^2(L1/2) = 6.25 м/с^2

Ускорение правого конца стержня будет:

a2 = ω^2(L2/2) = 3.75 м/с^2

Таким образом, ускорение левого конца стержня в два раза больше, чем ускорение правого конца стержня.