Question

Стержень А В соскальзывает вниз,опираясь концами о стену и пол.Длина стержня 2.5м;в момен,изображенный на чертеже,скорость точтки В vb-6м/с.Угол между АВ и полом 45 градусов.Найти скорость точки А

Answer 1

a,b,c - стороны треугольника, образованного стержнем и стенами

a^2+b^2=l^2

(a=b , т.к. угол 45 градусов)

Пусть конец A сместился на очень малое da (опускаясь), конец В сместился на очень малое db вправо за время dt

тогда

(a-da)^2+(b+db)^2=l^2 (длина стержня не изменилась)

a^2-2a*da+(da)^2 +b^2+2b*db+(db)^2=l=a^2+b^2

можно пренебречь (da)^2 и (db)^2

после сокращения

-a*da+b*db=0

a*da=b*db

деля на dt

aVa=bVb

Va=Vb*(b/a)

т.к. a=b  по условию, то

Va=Vb=6 м/с

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии:

1/2 mv^2 + mgh = const,

где m - масса стержня, v - скорость точки В, h - высота точки В над полом, const - постоянная величина, которая не изменяется во время движения.

Перепишем этот закон для точки А:

1/2 mva^2 + mgha = const,

где mva - скорость точки А, hа - высота точки А над полом.

Поскольку стержень не теряет массу в процессе движения, то можно написать, что

mva * AB = m * vb * BV,

где AB - длина стержня, равная 2.5 м.

Также из геометрических соображений можно найти, что

h = AB * sin(45 градусов) = AB / √2.

Тогда выражение для постоянной величины примет вид:

const = 1/2 mvb^2 + mgh = 1/2 mvb^2 + m * AB / √2 * g,

где g - ускорение свободного падения.

Используя выражения для const и mva, можно написать:

1/2 mva^2 + mgha = const = 1/2 mvb^2 + m * AB / √2 * g.

Выражая из этого уравнения mva, получаем:

mva = √(vb^2 + 2 * AB * g / √2) = √(36 м^2/с^2 + 2 * 2.5 м * 9.81 м/с^2 / √2) ≈ 8.55 м/с.

Ответ: скорость точки А составляет около 8.55 м/с.