Question

За одну секунду амплитуда затухающих колебаний уменьшилась в пять раз. Найти коэффициент затухания колебаний. За какое время амплитуда уменьшится в е раз. Пожалуйста с подробным решением.

Answer 1

За одну секунду амплитуда затухающих колебаний уменьшилась в пять раз. Найти коэффициент затухания колебаний. За какое время амплитуда уменьшится в е раз.

Answer 2

Пусть амплитуда колебаний в начальный момент времени равна $A_0$. После одной секунды амплитуда уменьшилась в 5 раз, то есть стала равна $A_1 = \frac{A_0}{5}$. Обозначим коэффициент затухания колебаний буквой $\gamma$.

Из формулы затухающих колебаний:

$A = A_0 e^{-\gamma t}$

Мы можем получить выражение для $A_1$:

$A_1 = A_0 e^{-\gamma \cdot 1}$

$\frac{A_1}{A_0} = e^{-\gamma}$

$\ln \frac{A_1}{A_0} = -\gamma$

$\gamma = -\ln \frac{A_1}{A_0}$

Подставляя $A_1 = \frac{A_0}{5}$, получаем:

$\gamma = -\ln \frac{1}{5} = \ln 5$

Таким образом, коэффициент затухания равен $\gamma = \ln 5$.

Чтобы найти время, за которое амплитуда уменьшится в $e$ раз, нам нужно решить уравнение:

$e^{-\gamma t} = \frac{1}{e}$

$-\gamma t = \ln \frac{1}{e} = -1$

$t = \frac{1}{\gamma} = \frac{1}{\ln 5} \approx 1.44\text{ секунд}$

Таким образом, за время около 1.44 секунд амплитуда затухающих колебаний уменьшится в $e$ раз.