Question

Проекции скорости точки во время движения определяются выражениями: Vx=0.2t^2, Vy=3 м/с Определить касательное ускорение в момент времени t = 2

Answer 1

Ускорение это первая производная скорости по времени
ах=0,4t
ay =0
подставляем значение времени. ах = 0,8

Answer 2

Касательное ускорение - это проекция ускорения точки на касательную к ее траектории. Для определения касательного ускорения в момент времени t = 2 сначала необходимо найти радиус кривизны траектории в этот момент времени.

Радиус кривизны можно найти по формуле:

R = ((1 + (dy/dx)^2)^(3/2)) / |d^2y/dx^2|,

где dx/dt = Vx, dy/dt = Vy, а d^2y/dx^2 - это вторая производная функции y(x) по x.

Выражения для Vx и Vy даны, поэтому мы можем найти производные dx/dt и dy/dt в момент времени t=2:

Vx(2) = 0.2 * 2^2 = 0.8 м/с

Vy(2) = 3 м/с

Теперь найдем производную dy/dx:

dy/dx = Vy/Vx = (3 м/с) / (0.2t^2) = 15 / t^2

Вторая производная d^2y/dx^2:

d^2y/dx^2 = -30 / t^3

Теперь можем вычислить радиус кривизны в момент времени t=2:

R = ((1 + (dy/dx)^2)^(3/2)) / |d^2y/dx^2| = ((1 + (15/2)^2)^(3/2)) / |(-30/2^3)| = 4.57 м

Касательное ускорение a_t точки в момент времени t=2 можно вычислить по формуле:

a_t = v^2 / R,

где v - скорость точки в момент времени t=2.

v = sqrt(Vx^2 + Vy^2) = sqrt((0.8 м/с)^2 + (3 м/с)^2) = 3.05 м/с

a_t = (3.05 м/с)^2 / 4.57 м = 2.03 м/c^2

Ответ: касательное ускорение точки в момент времени t=2 равно 2.03 м/c^2.