Question

Луч, падающий на призму с преломляющим углом 0,1 рад, поворачивается призмой на угол 0,03 рад. Найти пока­затель преломления вещества призмы, если луч падает перпен­дикулярно грани. В расчетах синусы углов заменить их аргумен­тами.

Answer 1

дано   α =0,1        β = 0,03      n-?
для малых углов справедлива формула
β = α  *(n -1)
n=β/α  + 1= 0,03/0,1  +1   =1,3

Answer 2

Пусть n - искомый показатель преломления вещества призмы.

При падении луча перпендикулярно грани призмы, он преломляется дважды: при входе в призму и при выходе из нее. Обозначим угол падения луча на призму через i, угол преломления при входе в призму через r1, угол преломления при выходе из призмы через r2 и угол, на который поворачивается луч при прохождении призмы, через d.

Так как призма имеет преломляющий угол 0,1 рад, то угол r1 между лучом и нормалью на входе в призму будет равен:

r1 = arcsin(n * sin(i))

Аналогично, угол r2 на выходе из призмы:

r2 = arcsin(sin(r1) / n)

Из геометрических соображений можно установить, что угол поворота луча при прохождении призмы d равен:

d = r1 - r2

Подставляя r1 и r2 в эту формулу, получим:

d = arcsin(n * sin(i)) - arcsin(sin(r1) / n)

Заметим, что i = r1 + r2, так как сумма углов при вершине призмы равна 180 градусам или pi радианам. Тогда:

i = r1 + r2 r1 = i - r2

Подставляя r1 в первую формулу, получим:

sin(r1) = sin(i - r2) = sin(i) * cos(r2) - cos(i) * sin(r2)

Подставляя это в выражение для d, получим:

d = arcsin(n * sin(i)) - arcsin((sin(i) * cos(r2) - cos(i) * sin(r2)) / n)

Подставляя значения углов i = 90 градусов (или pi/2 радианов) и d = 0,03 радиана, получим уравнение:

0,03 = arcsin(n * sin(pi/2)) - arcsin((sin(pi/2) * cos(r2) - cos(pi/2) * sin(r2)) / n)

Учитывая, что sin(pi/2) = 1 и cos(pi/2) = 0, можно упростить это уравнение:

0,03 = arcsin(n) - arcsin(sin(r2) / n)

Сложим и вычтем arcsin(sin(r2)):

0,03 = arcsin(n) - arcsin(sin(r2)) + arcsin(sin(r2)) - arcsin(sin(r2) / n) 0,03 = arcsin(n * cos(r2)) + arcsin(sin(r2) * (n - 1) / n)

Используя формулу sin(a + b)