Question

Однородный стержень длиной L колеблется около оси, проходящий через его конец. Найти период колебаний и приведённую длину такого маятника Мне нужно дано и чёткое решение желтельно с пояснениями!

Answer 1

Несложно написать уравнение движения такого маятника:

$I\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}=-mgh\sin \varphi$

Немного пошаманив, можно показать, что для периода можно написать

$T=4\sqrt{\dfrac{I}{mga}}\cdot K\left(\sin\dfrac{\varphi_0}2\right)$

где а=L/2 - расстояние от центра инерции до точки подвеса, а К - полный эллиптический интеграл 1 рода.

Известно, что момент инерции однородного стержня равен I0=mL^2/12, тогда по теореме Штейнера I=I0+ma^2=mL^2/12+mL^2/4=mL^2/3

Подставив всё в формулу, получаем 

$T=4\sqrt{\dfrac{mL^2/3}{mgL/2}}\cdot K\left(\sin\dfrac\varphi2\right)=4\sqrt{\dfrac{2L}{3g}}\cdot K\left(\sin\dfrac\varphi2\right)$$T=4\sqrt{\dfrac{mL^2/3}{mgL/2}}\cdot K\left(\sin\dfrac{\varphi_0}2\right)=4\sqrt{\dfrac{2L}{3g}}\cdot K\left(\sin\dfrac{\varphi_0}2\right)$

 

Для случая малых углов, применяя формулу $K(\alpha)\approx\frac\pi2,$ получим такую формулу:

$T\approx2\pi\sqrt{\dfrac{2L}{3g}}$

 

Answer 2

Для однородного стержня, колеблющегося вокруг оси, проходящей через его конец, период колебаний и приведённая длина могут быть найдены с использованием формул для математического маятника.

1. Найдем период колебаний: Период колебаний математического маятника зависит от длины маятника и ускорения свободного падения. Для данного случая, приведенная длина является величиной, которая заменяет длину маятника в формуле для периода.

Период колебаний математического маятника выражается следующей формулой:

T = 2π * √(L/g),

где T - период колебаний, L - длина маятника, g - ускорение свободного падения (около поверхности Земли примерно равно 9.8 м/с²).

2. Найдем приведённую длину: Приведённая длина маятника обычно обозначается символом l и выражается в отношении к длине маятника L. Она позволяет сравнивать периоды колебаний маятников разной длины.

Приведённая длина выражается следующей формулой:

l = L/2π * √(g/L),

где l - приведённая длина, L - длина маятника, g - ускорение свободного падения.

Теперь у нас есть формулы для нахождения периода колебаний и приведённой длины однородного стержня, колеблющегося около оси, проходящей через его конец.