Question

Поверхностная плотность заряда сферы радиусом R равна сигме. Определите потенциал внутри сферы.

Answer 1

Потенциал внутри сферы равен k*Q/R; Q можно найти следующим образом: Q = 4pi*R^2*[сигма]
Подставим в общую формулу:
f = k*(4pi*R^2*[сигма])/R -> (сократим) -> 4pi*R*k*[сигма]

Answer 2

Для определения потенциала внутри сферы с поверхностной плотностью заряда σ радиусом R, мы можем воспользоваться законом Кулона и формулой для потенциала от точечного заряда.

Поскольку сфера имеет распределение заряда по поверхности, мы можем представить ее как совокупность бесконечно малых элементов поверхности, каждый из которых имеет заряд dQ = σdA, где dA - площадь этого элемента поверхности.

Рассмотрим бесконечно малый элемент поверхности на расстоянии r от центра сферы. Потенциал dV, создаваемый этим элементом заряда, определяется формулой:

dV = k * dQ / r,

где k - постоянная Кулона (k = 1 / (4πε₀), где ε₀ - электрическая постоянная).

Полный потенциал V внутри сферы будет суммой всех таких бесконечно малых потенциалов от всех элементов поверхности сферы:

V = ∫dV = ∫k * dQ / r,

где интеграл берется по всей поверхности сферы.

Заметим, что σ = Q / (4πR²), где Q - полный заряд сферы. Мы можем выразить dQ через σ и dA: dQ = σdA = (Q / (4πR²))dA.

Теперь мы можем записать полный потенциал внутри сферы:

V = ∫k * (Q / (4πR²))dA / r.

Поскольку сфера симметрична относительно центра, интеграл по всей поверхности сферы будет одинаковым для каждого элемента поверхности. Таким образом, интеграл можно заменить на произведение общего числа элементов поверхности (N) и интеграла от единицы:

V = N * k * (Q / (4πR²)) * ∫dA / r.

Интеграл от dA / r по всей поверхности сферы равен 4πr, где r - расстояние от элемента поверхности до центра сферы:

V = N * k * (Q / (4πR²)) * 4πr.

Однако, внутри сферы r < R, и расстояние r будет меньше или равно R для каждого элемента поверхности. Поэтому интеграл превратится в ∫dA / R:

V = N * k * (Q / (4πR