Question

Материальная точка совершает одновременно гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях: вдоль оси X – по закону x(t)=a sin⁡(n1 πt), вдоль оси Y – по закону y(t)=a sin⁡(n2 πt+π/k), . Построить траекторию движения материальной точки. n1=2 c^(-1), n2=4 c^(-1), k=2

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

x (t) = a*sin (2π*t)

y(t) = a*sin (4π*t+π/2) = a*cos (4π*t)

Чтобы найти траекторию необходимо исключить время из уравнений.

Сделаем замену:

φ = 2π*t

Имеем:

x = a*sin (φ)

y = a*cos (2φ)

Выразим:

sin (φ) = x / a;           sin² (φ) = x² / a²;

cos (2φ) = y / a

Используем тригонометрическую формулу

cos (2φ) = (1 - 2*sin²( φ))

y / a = (1 - 2*x²/a²)

y = a* (1 - 2*x²/a²)

y = a - (2/a)*x²

Траектория - парабола с вершиной (0; a)

Ветви параболы направлены вниз.

Answer 2

Для построения траектории движения материальной точки, мы должны изучить, как ее координаты x и y зависят от времени t.

Уравнение для координаты x(t) дано как: x(t) = a sin(n1πt)

Уравнение для координаты y(t) дано как: y(t) = a sin(n2πt + π/k)

Здесь a представляет амплитуду колебаний, n1 и n2 являются частотами колебаний вдоль оси X и оси Y соответственно, а k - параметр, определяющий фазовую разность между колебаниями вдоль оси Y.

Чтобы построить траекторию движения, мы будем исследовать, как точка перемещается по координатной плоскости в зависимости от времени. Для этого можно использовать параметрическое представление, где x и y выражены через параметр t.

Подставим значения n1, n2 и k в уравнения x(t) и y(t):

x(t) = a sin(2πt) y(t) = a sin(4πt + π/2)

Теперь рассмотрим диапазон времени от 0 до T, где T - период колебаний. Период колебаний определяется формулой T = 1/f, где f - частота колебаний. Для данного случая, T = 1/n1 = 1/(2c^(-1)) = 0.5 секунды.

Выберем некоторый шаг времени Δt и рассмотрим значения x и y в каждый момент времени t = kΔt, где k - целое число. Таким образом, мы получим набор точек (x, y), которые соответствуют траектории движения.

Примерный алгоритм для построения траектории:

1. Установить амплитуду a.
2. Вычислить период T = 0.5 секунды.
3. Выбрать шаг времени Δt (например, Δt = 0.01 секунды).
4. Для каждого k от 0 до T/Δt, выполнить следующие шаги:
   • Вычислить t = kΔt.
   • Вычислить x = a sin(2πt).
   • Вычислить y = a sin(4πt + π/2).
   • Записать точку (x, y) в набор точек траектории.
5. Построить график, используя полученный набор точек траектории.

Обратите внимание, что конкретный шаг времени и амплитуда зависят от ваших предпоч