Question

Мистер Фокс задумал некоторое натуральное число N, большее 315, но меньшее 330, и сложил все натуральные числа от 1 до N. Он обнаружил, что полученная сумма делится на некоторое простое число p, однако ни одно слагаемое на p не делится. Чему равно  N?

Answer 1

Давайте рассмотрим задачу более подробно.

Мистер Фокс задумал некоторое натуральное число \(N\), большее 315, но меньшее 330, и сложил все натуральные числа от 1 до \(N\). Обозначим эту сумму как \(S\):

\[ S = 1 + 2 + 3 + \ldots + N \]

Теперь, он обнаружил, что полученная сумма \(S\) делится на некоторое простое число \(p\), при этом ни одно из слагаемых на \(p\) не делится.

Так как \(S\) делится на \(p\), а \(S\) представляет собой сумму последовательных натуральных чисел, то \(N\) также делится на \(p\) (так как деление на \(p\) приводит к целому числу). Теперь, по условию, ни одно из слагаемых на \(p\) не делится. То есть, \(N\) не делится на \(p\).

Таким образом, мы имеем, что \(N\) делится на \(p\), и в то же время \(N\) не делится на \(p\). Это противоречие может возникнуть только в случае, если \(p\) равно 1.

Таким образом, \(S\) делится на 1, что верно для любого натурального числа \(S\). То есть, у нас нет дополнительной информации о простом числе \(p\), и \(p\) может быть любым простым числом.

Теперь, чтобы найти значение \(N\), давайте рассмотрим диапазон, в котором может находиться \(N\). Мы знаем, что \(N\) больше 315 и меньше 330. Таким образом, \(315 < N < 330\).

Учитывая, что \(N\) делится на 1 (простое число), значение \(N\) должно быть равно самому себе. Поэтому \(N\) находится в интервале от 316 до 329 включительно.

Таким образом, \(N\) может быть любым натуральным числом в диапазоне от 316 до 329 включительно.