Question

Найти значение производной в точке y=4xe x_0=0

Answer 1

Для нахождения значения производной в заданной точке, нам нужно взять производную функции и подставить значение точки. В данном случае, у нас дана функция y = 4xе^x и точка x₀ = 0.

Нахождение производной функции

Чтобы найти производную функции y = 4xе^x, нам нужно использовать правила дифференцирования. Для этой функции, мы можем применить правило производной произведения и правило производной экспоненты.

1. Правило производной произведения (Product Rule): Если у нас есть функция f(x) = u(x)v(x), то производная этой функции равна f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

2. Правило производной экспоненты (Exponential Rule): Если у нас есть функция f(x) = e^u(x), то производная этой функции равна f'(x) = u'(x)e^u(x).

Применяя эти правила, найдем производную функции y = 4xе^x:

Пусть u(x) = 4x, v(x) = е^x.

Тогда, y = u(x)v(x) = 4xе^x.

Применяя правило производной произведения, мы получаем:

y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = (4)(е^x) + (4x)(е^x).

Таким образом, производная функции y = 4xе^x равна y' = 4е^x + 4xе^x.

Подстановка значения точки

Теперь, чтобы найти значение производной в точке x₀ = 0, мы подставляем x₀ в выражение для производной:

y'(x₀) = 4е^x₀ + 4x₀е^x₀.

Поскольку x₀ = 0, то мы можем заменить x₀ в выражении:

y'(0) = 4е^0 + 4(0)е^0.

Значение е^0 равно 1, поэтому это упрощается до:

y'(0) = 4 + 0.

Итак, значение производной функции y = 4xе^x в точке x₀ = 0 равно y'(0) = 4.

Ответ: Значение производной функции y = 4xе^x в точке x₀ = 0 равно 4.