Question

Для функции y= (x-1)^2+2, где x <или=1 , найдите обратную функцию.

Answer 1

Чтобы найти обратную функцию \( y = (x - 1)^2 + 2 \) для случая \( x \leq 1 \), мы можем следовать нескольким шагам. Обратная функция обозначается как \( f^{-1}(x) \), и она меняет роли \( x \) и \( y \) в исходной функции.

1. Начнем с исходной функции: \[ y = (x - 1)^2 + 2 \]

2. Заменим \( y \) на \( x \) и \( x \) на \( y \): \[ x = (y - 1)^2 + 2 \]

3. Решим полученное уравнение относительно \( y \): \[ x = (y - 1)^2 + 2 \]

Раскроем квадрат: \[ x = y^2 - 2y + 1 + 2 \]

Упростим: \[ x = y^2 - 2y + 3 \]

4. Теперь решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \): \[ y^2 - 2y + 3 - x = 0 \]

Используем квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 1, b = -2, c = 3 - x \).

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \). Если \( D < 0 \), то у уравнения нет действительных корней. Если \( D = 0 \), то есть один корень, и если \( D > 0 \), то два корня.

\[ D = (-2)^2 - 4(1)(3 - x) = 4 - 4(3 - x) = 4 - 12 + 4x = -8 + 4x \]

Так как \( x \leq 1 \), то \( -8 + 4x \leq -4 < 0 \). Следовательно, дискриминант отрицательный, и у уравнения нет действительных корней.

5. Вывод: Для данной функции и указанного диапазона \( x \leq 1 \) обратной функции не существует в действительных числах. Это означает, что функция \( y = (x - 1)^2 + 2 \) не обратима в данном диапазоне.