Question

В ромб вписана окружность радиусом 3,6.Длины диагоналей ромба относятся как 3:4 а) найдите сторону ромба б) найдите площадь

Answer 1

Давайте обозначим через \( d_1 \) и \( d_2 \) длины диагоналей ромба, а через \( a \) - длину его стороны. Также пусть \( r \) будет радиусом вписанной окружности.

Известно, что диагонали ромба относятся как 3:4:

\[ \frac{d_1}{d_2} = \frac{3}{4} \]

Также известно, что диагонали ромба перпендикулярны и пересекаются под прямым углом. Это означает, что получаем два прямоугольных треугольника. Для одного из таких треугольников можем использовать теорему Пифагора:

\[ d_1^2 = a^2 + a^2 \quad \text{(1)} \]

\[ d_2^2 = (2r)^2 + (2r)^2 \quad \text{(2)} \]

Так как радиус вписанной окружности равен 3.6, то \( r = 3.6 \). Подставим это значение в уравнение (2):

\[ d_2^2 = (2 \cdot 3.6)^2 + (2 \cdot 3.6)^2 = 51.84 \]

Теперь используем отношение диагоналей:

\[ \frac{d_1}{d_2} = \frac{3}{4} \]

\[ \frac{d_1^2}{d_2^2} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 \]

Подставим значения:

\[ \frac{a^2 + a^2}{51.84} = \frac{9}{16} \]

Упростим уравнение:

\[ 2a^2 = \frac{9}{16} \times 51.84 \]

\[ a^2 = \frac{9}{32} \times 51.84 \]

\[ a^2 = 14.4 \]

\[ a = \sqrt{14.4} \approx 3.79 \]

Таким образом, сторона ромба примерно равна 3.79. Теперь найдем площадь ромба. Площадь ромба можно найти по формуле:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \]

Подставим значения:

\[ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times 3.79 \times 51.84 \approx 97.98 \]

Таким образом, площадь ромба примерно равна 97.98.