Question

Иследование функции с помощью производной y=x^3-3x^2-2

Answer 1

Для исследования функции y = x^3 - 3x^2 - 2 с помощью производной, мы должны рассмотреть несколько основных аспектов:

1. Нахождение производной функции: Для этого возьмем производную от каждого члена функции. Для y = x^3 - 3x^2 - 2 производная будет: y' = 3x^2 - 6x

2. Определение точек экстремума: Чтобы найти точки экстремума, нужно решить уравнение y' = 0. Подставим в него производную: 3x^2 - 6x = 0 Теперь выносим общий множитель: 3x(x - 2) = 0 Получаем два возможных значения для x: x = 0 и x = 2.

3. Определение значений функции в точках экстремума: Чтобы найти соответствующие значения y в точках экстремума, подставим найденные значения x обратно в исходную функцию y = x^3 - 3x^2 - 2: y(0) = 0^3 - 3(0^2) - 2 = -2 y(2) = 2^3 - 3(2^2) - 2 = -8

Таким образом, получаем две точки экстремума: (0, -2) и (2, -8).

4. Определение интервалов возрастания и убывания функции: Для этого проанализируем знак производной. Возьмем несколько точек в каждом интервале и определим знак производной в этих точках.

a) Если x < 0, то выберем x = -1: y' = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 Знак производной положительный, значит функция возрастает на интервале (-∞, 0).

b) Если 0 < x < 2, то выберем x = 1: y' = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 Знак производной отрицательный, значит функция убывает на интервале (0, 2).

c) Если x > 2, то выберем x = 3: y' = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 Знак производной положительный, значит функция возрастает на интервале (2, +∞).

Таким образом, функция возрастает на интервалах (-∞, 0) и (2, +∞), и убывает на интервале (0, 2).

5. Определение точек перегиба: Чтобы найти точки перегиба, нужно проанализировать знак второй производной. Найдем вторую производную, взяв производную от y': y'' = 6x - 6

Теперь решим уравнение y'' = 0: 6x - 6 = 0 6x = 6 x = 1

Таким образом, точка перегиба находится при x = 1.

6. Определение выпуклости и вогнутости функции: Проанализируем знак второй производной в нескольких точках в каждом интервале.

a) Если x < 1, то выберем x = 0: y'' = 6(0) - 6 = -6 < 0 Знак второй производной отрицательный, значит функция вогнута на интервале (-∞, 1).

b) Если x > 1, то выберем x = 2: y'' = 6(2) - 6 = 6 > 0 Знак второй производной положительный, значит функция выпукла на интервале (1, +∞).

Таким образом, функция вогнута на интервале (-∞, 1) и выпукла на интервале (1, +∞).

В итоге, мы исследовали функцию y = x^3 - 3x^2 - 2 с помощью производной и определили следующие характеристики: - точки экстремума: (0, -2) и (2, -8); - интервалы возрастания: (-∞, 0) и (2, +∞); - интервалы убывания: (0, 2); - точка перегиба: (1, ___); - интервалы вогнутости: (-∞, 1); - интервалы выпуклости: (1, +∞).