Question

Пусть число x+1/x — целое. Для какого наименьшего количества целых чисел k из отрезка [−2014;2014] число x^k+1/(x^k) тоже является целым?

Answer 1

Для того чтобы \(x + \frac{1}{x}\) было целым числом, \(x\) должно быть корнем уравнения вида \(x^2 - bx + 1 = 0\), где \(b\) — целое число. Это следует из того, что \(x^2 - bx + 1 = 0\) имеет решения \(x = \frac{b \pm \sqrt{b^2 - 4}}{2}\), и для того, чтобы \(x\) было рациональным, подкоренное выражение должно быть квадратом рационального числа.

Таким образом, если \(x\) — корень этого уравнения, то \(x + \frac{1}{x}\) будет целым числом.

Поскольку \(\frac{1}{x}\) также является корнем этого уравнения, то для \(x^k + \frac{1}{x^k}\) целым числом должно быть также и для отрицательных степеней \(k\). Это можно понять, если рассмотреть, что происходит при возведении в отрицательную степень:

\[x^{-k} + \frac{1}{x^{-k}} = \frac{1}{x^k} + x^k.\]

Таким образом, чтобы \(x^k + \frac{1}{x^k}\) было целым для некоторого \(k\), \(x\) должно быть корнем уравнения \(x^2 - bx + 1 = 0\).

Теперь ограничим возможные значения \(b\), чтобы \(x\) принадлежало отрезку \([-2014; 2014]\). Уравнение \(x^2 - bx + 1 = 0\) имеет два корня, и их произведение равно 1. Поэтому один корень будет меньше 1, а другой больше 1.

Поскольку \(x\) должно быть целым, то корень, меньший 1, может быть только -1, и корень, больший 1, может быть только 1.

Таким образом, наименьшее количество целых чисел \(k\), для которых \(x^k + \frac{1}{x^k}\) целое, равно 1.