Question

Найдите наименьшее значение функции y=(x^2-39x+39)*e^(2-x) на отрезке [ 0;6]. Зарание спасибо.

Answer 1

Чтобы найти наименьшее значение функции \(y=(x^2-39x+39)e^{2-x}\) на отрезке \([0;6]\), следует выполнить следующие шаги:

1. Найти критические точки функции внутри отрезка. 2. Рассмотреть значения функции на концах отрезка и найденных критических точках. 3. Выбрать наименьшее из полученных значений.

1. Нахождение критических точек:

Первая производная функции равна нулю в критических точках. Вычислим первую производную функции \(y\) и найдем ее корни:

\[y'(x) = (2x - 39)e^{2-x} + (x^2 - 39x + 39)(-e^{2-x})\]

Уравнение \(y'(x) = 0\) дает критические точки. Решим уравнение:

\[(2x - 39)e^{2-x} + (x^2 - 39x + 39)(-e^{2-x}) = 0\]

2. Вычисление производных и нахождение корней:

\[ (2x - 39)e^{2-x} - (x^2 - 39x + 39)e^{2-x} = 0\]

\[ e^{2-x}(2x - 39 - x^2 + 39x - 39) = 0\]

\[ e^{2-x}(-x^2 + 41x - x - 78) = 0\]

\[ e^{2-x}(-x^2 + 40x - 78) = 0\]

\[ e^{2-x}(-x + 2)(x - 39) = 0\]

Отсюда получаем два корня: \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 39\). Однако, \(x_2 = 39\) не входит в интервал \([0; 6]\), поэтому рассматриваем только \(x_1 = 2\).

2. Рассмотрение значений функции на концах отрезка и критической точке:

Теперь нужно вычислить значения функции в найденных точках и на концах отрезка \([0; 6]\): \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\), \(x_3 = 6\).

\[y(0) = (39)e^2 \approx 2672.95\]

\[y(2) = (2^2 - 39 \cdot 2 + 39)e^{2-2} = 39\]

\[y(6) = (6^2 - 39 \cdot 6 + 39)e^{2-6} \approx 3696.53\]

3. Выбор наименьшего значения:

Минимальное значение функции на отрезке \([0;6]\) достигается в точке \(x = 2\), и оно равно \(y(2) = 39\).

Таким образом, наименьшее значение функции \(y\) на отрезке \([0;6]\) равно 39.