Question

Решить тригонометрическое уравнение:3(sin(x))^2-2=sin(x)cos(x)

Answer 1

Давайте решим уравнение по шагам. Уравнение выглядит следующим образом:

\[3\sin^2(x) - 2 = \sin(x)\cos(x)\]

1. Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества:

\[3\sin^2(x) - \sin(x)\cos(x) - 2 = 0\]

2. Теперь давайте попробуем представить \(\sin(x)\cos(x)\) в виде одного тригонометрического выражения. Мы знаем, что \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\), поэтому:

\[3\sin^2(x) - \sin(x)\cos(x) - 2 = 3\sin^2(x) - \frac{1}{2}\sin(2x) - 2 = 0\]

3. Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\sin(x)\). Давайте заменим \(\sin(x)\) буквой \(t\):

\[3t^2 - \frac{1}{2}\sin(2x) - 2 = 0\]

4. Решим квадратное уравнение относительно \(t\):

\[6t^2 - \sin(2x) - 4 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение, и мы можем воспользоваться формулой для решения квадратных уравнений:

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где \(a = 6\), \(b = -1\), \(c = -4\).

5. Подставим значения:

\[t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 96}}{12}\]

\[t = \frac{1 \pm \sqrt{97}}{12}\]

Теперь у нас есть два возможных значения для \(t\). Обратимся к начальной замене \(t = \sin(x)\):

\[ \sin(x) = \frac{1 \pm \sqrt{97}}{12}\]

6. Решим уравнение для каждого значения:

\[ \sin(x) = \frac{1 + \sqrt{97}}{12}\] или \[ \sin(x) = \frac{1 - \sqrt{97}}{12}\]

Теперь найдем углы \(x\) с использованием обратных тригонометрических функций. Итак, у нас есть два набора решений:

\[ x = \arcsin\left(\frac{1 + \sqrt{97}}{12}\right)\] или \[ x = \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{97}}{12}\right)\]

Эти углы \(x\) будут решениями вашего исходного тригонометрического уравнения.