Question

Найти число корней уравнения Sinx*tgx-2sinx+tgx=2, принадлежащих отрезку [-pi;pi]

Answer 1

Для начала давайте преобразуем уравнение:

sinx*tgx - 2sinx + tgx = 2

Так как sinx * tgx = sinx / cosx, мы можем заменить их в уравнении:

sinx / cosx - 2sinx + tgx = 2

Учитывая, что tgx = sinx / cosx, мы можем заменить его в уравнении:

sinx / cosx - 2sinx + sinx / cosx = 2

Сокращаем общий знаменатель и суммируем дроби:

(sin^2x + sinx) / cosx - 2sinx = 2

Умножаем обе части уравнения на cosx и получаем:

sin^2x + sinx - 2sinx * cosx = 2cosx

Переписываем уравнение в более удобном виде:

sin^2x - sinx - 2sinx * cosx + 2cosx - 2 = 0

Факторизуем уравнение:

sinx(sinx - 1) - 2cosx(sinx - 1) - 2 = 0

(sin x - 2cos x)(sin x - 1) - 2 = 0

(sin x - 1)(sin x - 2cos x) - 2 = 0

Теперь мы можем найти значения sin x и cos x, при которых уравнение равно нулю.

Рассмотрим первый множитель:

sin x - 1 = 0

sin x = 1

На отрезке [-π; π] существует только одно значение x, при котором sin x = 1. Это x = π/2.

Теперь рассмотрим второй множитель:

sin x - 2cos x = 0

sin x = 2cos x

cos x = sin x / 2

На отрезке [-π; π] существует несколько значений x, при которых cos x = sin x / 2. Один из таких значений x - это x = π/4.

Таким образом, уравнение sinx*tgx - 2sinx + tgx = 2 имеет два корня на отрезке [-π; π]: x = π/2 и x = π/4.