Question

Найти корни: log7(11x²+10)-log7(x²+x+1) ≥ log7((x/x+8)+10)

Answer 1

Для решения данного неравенства, нужно применить свойства логарифмов.

Сначала мы можем использовать свойство логарифмов log a - log b = log(a/b), чтобы упростить левую часть неравенства:

log7(11x²+10)-log7(x²+x+1) = log7((11x²+10)/(x²+x+1))

Затем мы можем использовать свойство логарифма log a + log b = log(ab), чтобы упростить правую часть неравенства:

log7((x/x+8)+10) = log7(10(x/x+8))

Теперь наше неравенство принимает следующий вид:

log7((11x²+10)/(x²+x+1)) ≥ log7(10(x/x+8))

Теперь мы применяем свойство логарифма, согласно которому log a ≥ log b эквивалентно a ≥ b. Тогда неравенство можно переписать:

(11x²+10)/(x²+x+1) ≥ 10(x/x+8)

Для решения данного неравенства можно умножить обе части на знаменатель , чтобы избавиться от деления:

(11x²+10)(x+8) ≥ 10x(x²+x+1)

Таким образом, мы получаем квадратное неравенство:

11x³ + 98x² + 10x + 80 ≥ 10x³ + 10x² + 10x

Вычитаем правую часть из левой:

x³ + 88x² + 10x + 80 ≥ 0

Мы можем решить данное кубическое неравенство, используя метод знаков. Для этого разбиваем число x на интервалы (-∞, -8), (-8, 0), (0, +∞) и анализируем значения функции на этих интервалах.

1) Рассмотрим интервал (-∞, -8): Для x < -8 у нас будет отрицательное значение слева от неравенства, поэтому его можно исключить из рассмотрения.

2) Рассмотрим интервал (-8, 0): Для x < -8 значение слева от неравенства будет положительным (так как вся сумма будет положительной), а значение справа от неравенства будет отрицательным (так как знаменатель дроби будет отрицательным). Таким образом, этот интервал не подходит.

3) Рассмотрим интервал (0, +∞): Для x > 0 значение слева от неравенства будет положительным, а значение справа от неравенства также будет положительным. Таким образом, этот интервал подходит.

Таким образом, решением данного неравенства является интервал (0, +∞).