Question

Как решить loglog2х = log2 log4 log864 + log828 – log83,5

Answer 1

Для решения уравнения \( \log(\log_2{x}) = \log_2(\log_4(\log_{864}(\log_{828} - \log_{8^{3.5}}))) \), давайте разберемся с каждым логарифмом поочередно.

1. Начнем с внутреннего логарифма: \[ \log_{8^{3.5}} \] Мы знаем, что \(8^{3.5}\) это то же самое, что и \((2^3)^{3.5} = 2^{10.5}\). Таким образом, внутренний логарифм можно представить как \(\log_2{2^{10.5}}\), и тут логарифмы сокращаются, оставляя \(10.5\).

2. Теперь работаем с логарифмом по основанию 864: \[ \log_{864}{10.5} \] Это можно представить как \(\frac{\log_{2}{10.5}}{\log_{2}{864}}\). Значение \(\log_{2}{10.5}\) можно оставить в этом виде, а \(\log_{2}{864}\) выразить как \(\log_{2}{2^6 \cdot 3^3}\), что равно \(6\log_{2}{2} + 3\log_{2}{3} = 6 + 3\log_{2}{3}\).

3. Переходим к следующему логарифму с основанием 828: \[ \log_{828}{\frac{\log_{2}{10.5}}{6 + 3\log_{2}{3}}} \] Это можно выразить как \(\frac{\log_{2}{\frac{\log_{2}{10.5}}{6 + 3\log_{2}{3}}}}{\log_{2}{828}}\).

4. Теперь работаем с логарифмом по основанию 4: \[ \log_{4}{\frac{\log_{2}{\frac{\log_{2}{10.5}}{6 + 3\log_{2}{3}}}}{\log_{2}{828}}} \] Это можно представить как \(\frac{\log_{2}{\frac{\log_{2}{\frac{\log_{2}{10.5}}{6 + 3\log_{2}{3}}}}{\log_{2}{828}}}}{\log_{2}{4}}\).

5. Теперь переходим к логарифму по основанию 2: \[ \log_{2}{\frac{\log_{2}{\frac{\log_{2}{\frac{\log_{2}{10.5}}{6 + 3\log_{2}{3}}}}{\log_{2}{828}}}}{\log_{2}{4}}} \] В данном случае, логарифм по основанию 2 упрощается, и выражение внутри логарифма сокращается.

6. Теперь работаем с внешним логарифмом: \[ \log_2{\log_{2}{\frac{\log_{2}{\frac{\log_{2}{\frac{\log_{2}{10.5}}{6 + 3\log_{2}{3}}}}{\log_{2}{828}}}}{\log_{2}{4}}}} \]

Таким образом, у вас есть уравнение вида \( \log_2{\log_2{x}} = \log_2{\log_{2}{\frac{\log_{2}{\frac{\log_{2}{\frac{\log_{2}{10.5}}{6 + 3\log_{2}{3}}}}{\log_{2}{828}}}}{\log_{2}{4}}}} \). Чтобы решить это уравнение, можно возвести обе стороны уравнения в степень 2 и т.д. и продолжить упрощение. Однако, решение может быть довольно сложным и требовать использования численных методов или программ для нахождения численного значения \(x\).