Question

Интеграл (log x по основанию 3)*dx

Answer 1

Конечно, давайте решим данный интеграл:

\[\int \log_3(x) \,dx\]

Для решения данного интеграла, воспользуемся методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

\[\int u \,dv = uv - \int v \,du\]

Выберем части для интегрирования:

\[u = \log_3(x) \quad \text{и} \quad dv = dx\]

Теперь вычислим \(du\) и \(v\):

\[du = \frac{1}{\ln(3)} \cdot \frac{1}{x} \,dx \quad \text{и} \quad v = x\]

Теперь подставим эти значения в формулу интегрирования по частям:

\[\int \log_3(x) \,dx = x \cdot \log_3(x) - \int x \cdot \frac{1}{\ln(3) \cdot x} \,dx\]

Упростим выражение:

\[\int \log_3(x) \,dx = x \cdot \log_3(x) - \frac{1}{\ln(3)} \int dx\]

Интегрируем последний член:

\[\int \log_3(x) \,dx = x \cdot \log_3(x) - \frac{x}{\ln(3)} + C\]

где \(C\) - постоянная интегрирования.

Таким образом, интеграл \(\int \log_3(x) \,dx\) равен:

\[x \cdot \log_3(x) - \frac{x}{\ln(3)} + C\]