Question

Стереометрия 3. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 4 и 8, а угол между ними равен 30градусов.Диагональ меньшей грани равна 5 найти объем параллелепипеда 4. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 2 a угол между боковыми ребрами равен 90 градусов.Найти площадь боковой поверхности пирамиды.Найти боковую поверхность конуса, если известно, что она втвоe больше площади основания конуса a площадь осевого сечения конуса равна корень из 3 / на п

Answer 1

Давайте разберем каждую из задач поочередно:

Задача 1: Параллелепипед

У нас есть прямоугольный параллелепипед с основанием, где стороны равны 4 и 8, а угол между ними равен 30 градусов. Диагональ меньшей грани равна 5. Нам нужно найти объем параллелепипеда.

Решение:

Пусть \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника (основания параллелепипеда), \(c\) - диагональ меньшей грани, и \(h\) - высота параллелепипеда.

Так как у нас есть прямоугольный треугольник, то можем воспользоваться тригонометрическими функциями:

1. \(\sin 30^\circ = \frac{a}{c}\) (синус угла в прямоугольном треугольнике). 2. \(\cos 30^\circ = \frac{b}{c}\) (косинус угла в прямоугольном треугольнике).

Решаем систему уравнений относительно \(a\) и \(b\):

\[ \begin{align*} \frac{a}{c} &= \sin 30^\circ \quad \Rightarrow \quad a = c \cdot \sin 30^\circ \\ \frac{b}{c} &= \cos 30^\circ \quad \Rightarrow \quad b = c \cdot \cos 30^\circ \\ \end{align*} \]

Теперь можем подставить значения сторон в формулу объема параллелепипеда:

\[ V = a \cdot b \cdot h \]

\[ V = (c \cdot \sin 30^\circ) \cdot (c \cdot \cos 30^\circ) \cdot h \]

Также, у нас есть соотношение для диагонали \(c\) и сторон \(a\), \(b\), \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\).

Теперь подставим исходные данные и решим уравнения.

Задача 2: Треугольная пирамида

У нас есть правильная треугольная пирамида с основанием, где сторона равна \(2\), а угол между боковыми ребрами равен \(90\) градусов. Нам нужно найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

В правильной треугольной пирамиде боковые грани являются равнобедренными прямоугольными треугольниками.

1. Пусть \(s\) - сторона основания, \(l\) - длина бокового ребра, \(h\) - высота боковой грани.

2. Площадь боковой поверхности можно найти по формуле \(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot h\).

Также, у нас есть соотношение между стороной основания \(s\) и боковым ребром \(l\), \(l = \sqrt{s^2 + h^2}\).

Теперь подставим значения и решим уравнения.

Задача 3: Конус

У нас есть конус, и известно, что боковая поверхность в два раза больше площади основания, а площадь осевого сечения конуса равна \(\sqrt{3}/\pi\). Нам нужно найти боковую поверхность конуса.

Решение:

1. Пусть \(r\) - радиус основания конуса, \(l\) - образующая конуса, \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания, \(S_{\text{бок}}\) - боковая поверхность.

2. У нас дано, что \(S_{\text{бок}} = 2 \cdot S_{\text{осн}}\) и \(S_{\text{осев}} = \sqrt{3}/\pi\).

3. Площадь основания конуса: \(S_{\text{осн}} = \pi \cdot r^2\).

4. Боковая поверхность конуса: \(S_{\text{бок}} = \pi \cdot r \cdot l\).

5. Осевое сечение конуса: \(S_{\text{осев}} = \pi \cdot l^2\).

Теперь подставим значения и решим уравнения.

Надеюсь, это поможет вам решить задачи!