Question

Найти dy и d2y: y=sin^2 x

Answer 1

Для нахождения производных функции y = sin^2(x) сначала найдем первую производную dy и затем вторую производную d^2y.

1. Первая производная (dy): Для нахождения первой производной, мы будем использовать правило дифференцирования композиции функций.

y = sin^2(x) dy/dx = 2sin(x) * d(sin(x))/dx dy/dx = 2sin(x) * cos(x)

Таким образом, первая производная функции y = sin^2(x) равна dy/dx = 2sin(x) * cos(x).

2. Вторая производная (d^2y): Для нахождения второй производной, снова воспользуемся правилом дифференцирования композиции функций.

d^2y/dx^2 = d(dy/dx)/dx d^2y/dx^2 = d(2sin(x) * cos(x))/dx d^2y/dx^2 = 2(d(sin(x))/dx * cos(x) + sin(x) * d(cos(x))/dx) d^2y/dx^2 = 2(cos^2(x) - sin^2(x))

Таким образом, вторая производная функции y = sin^2(x) равна d^2y/dx^2 = 2(cos^2(x) - sin^2(x)).

Итак, после вычисления, мы получаем: dy/dx = 2sin(x) * cos(x) d^2y/dx^2 = 2(cos^2(x) - sin^2(x))

Эти производные позволяют нам анализировать свойства функции y = sin^2(x), такие как экстремумы, точки перегиба и т. д.