Question

Помогите пожалуйста! Пример 1. Вычислить производную функции y = cos(x2 + 1) Пример 2. Вычислить производную функции y = 3cos5x .... Исследовать функцию y = - 1/5x3 + 3/2x2 - 4 на экстремум с помощью второго признака. .... Пример 1. Выяснить, является ли функция F(x) = x3 - 3x + 1 первообразной для функции f(x) = 3(x2 - 1). Пример 2. Найти первообразную для функции f(x) = 4 - x2, график которой проходит через точку (-3;10). .... Пример 1. Решить уравнение y/ + y = ex.

Answer 1

Я могу помочь вам с решением этих математических задач. Давайте рассмотрим каждую из них по порядку.

Пример 1. Вычислить производную функции y = cos(x^2 + 1)

Чтобы вычислить производную данной функции, мы будем использовать правило цепной дифференциации. Давайте обозначим внутреннюю функцию как u = x^2 + 1, а внешнюю функцию как y = cos(u).

1. Вычислим производную внутренней функции u по переменной x: du/dx = d/dx (x^2 + 1) = 2x

2. Вычислим производную внешней функции y по переменной u: dy/du = d/dy (cos(u)) = -sin(u)

3. Применим правило цепной дифференциации, умножив производные внутренней и внешней функций: dy/dx = dy/du * du/dx = -sin(u) * 2x

4. Подставим u = x^2 + 1 в полученное выражение: dy/dx = -sin(x^2 + 1) * 2x

Пример 2. Вычислить производную функции y = 3cos(5x)

В данном примере у нас есть функция, состоящая из произведения константы (3) и функции cos(5x). Чтобы вычислить производную этой функции, мы будем использовать правило производной для произведения функций.

1. Вычислим производную функции cos(5x) по переменной x: d/dx (cos(5x)) = -5sin(5x)

2. Умножим полученную производную на константу 3: dy/dx = 3 * (-5sin(5x)) = -15sin(5x)

Исследование функции y = -1/5x^3 + 3/2x^2 - 4 на экстремум с помощью второго признака.

Для исследования функции на экстремумы с помощью второго производного признака, нам нужно вычислить вторую производную и проанализировать ее знак на интервалах между стационарными точками.

1. Вычислим первую производную функции y: dy/dx = -1/5 * 3x^2 + 3/2 * 2x = -3/5x^2 + 3x

2. Вычислим вторую производную функции y: d^2y/dx^2 = d/dx (-3/5x^2 + 3x) = -6/5x + 3

3. Найдем стационарные точки, приравняв первую производную к нулю и решив уравнение: -3/5x^2 + 3x = 0 x(-3/5x + 3) = 0 Из этого уравнения получаем две стационарные точки: x = 0 и x = 5/3

4. Определение знака второй производной на интервалах: - При x < 0: d^2y/dx^2 = -6/5x + 3 > 0 - При 0 < x < 5/3: d^2y/dx^2 = -6/5x + 3 < 0 - При x > 5/3: d^2y/dx^2 = -6/5x + 3 > 0

Из этого следует, что: - Функция имеет локальный максимум в точке x = 0 - Функция имеет локальный минимум в точке x = 5/3

Пример 1. Выяснить, является ли функция F(x) = x^3 - 3x + 1 первообразной для функции f(x) = 3(x^2 - 1).

Для того чтобы функция F(x) была первообразной для функции f(x), производная функции F(x) должна быть равна функции f(x). Давайте вычислим производную функции F(x) и сравним ее с функцией f(x).

1. Вычислим производную функции F(x): d/dx (x^3 - 3x + 1) = 3x^2 - 3

2. Сравним полученную производную с функцией f(x) = 3(x^2 - 1): 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)

Мы видим, что производная функции F(x) равна функции f(x), поэтому функция F(x) является первообразной для функции f(x).

Пример 2. Найти первообразную для функции f(x) = 4 - x^2, график которой проходит через точку (-3, 10).

Чтобы найти первообразную для функции f(x), мы должны найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x).

1. Вычислим производную функции F(x): d/dx (F(x)) = 4 - x^2

2. Интегрируем обе части уравнения по переменной x: ∫(4 - x^2) dx = ∫dF(x)

Левая часть уравнения представляет собой интеграл от функции f(x), а правая часть представляет собой интеграл от производной функции F(x).

3. Решим интеграл слева: ∫(4 - x^2) dx = 4x - (1/3)x^3 + C

Где C - произвольная постоянная.

4. Подставим значение точки (-3, 10) в выражение для функции F(x): 4(-3) - (1/3)(-3)^3 + C = 10

Решив это уравнение, мы можем найти значение постоянной C.

12 + 27/3 + C = 10 12 + 9 + C = 10 C = -11

5. Таким образом, первообразная для функции f(x) = 4 - x^2, график которой проходит через точку (-3, 10), будет: F(x) = 4x - (1/3)x^3 - 11

Пример 1. Решить уравнение y'' + y' = e^x.

Для решения данного дифференциального уравнения, мы будем использовать метод вариации постоянной.

1. Найдем общее решение однородного уравнения: y'' + y' = 0

Характеристическое уравнение: r^2 + r = 0

Решим это уравнение: r(r + 1) = 0

Получаем два корня: r1 = 0 и r2 = -1

Общее решение однородного уравнения: y_h(x) = C1 * e^0x + C2 * e^(-1)x y_h(x) = C1 + C2 * e^(-x)

2. Предположим, что частное решение имеет вид y_p(x) = A * e^x, где A - постоянная.

3. Вычислим первую и вторую производные функции y_p(x): y'_p(x) =