Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^3-18x^2+81x+73 на отрезке [0;7]

Answer 1

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = x^3 - 18x^2 + 81x + 73 на отрезке [0;7], нужно проанализировать поведение функции на этом интервале.

Шаг 1: Найдем критические точки функции Критические точки функции - это точки, где производная функции равна нулю или не определена. Чтобы найти эти точки, найдем производную функции f'(x) и приравняем ее к нулю:

f(x) = x^3 - 18x^2 + 81x + 73 f'(x) = 3x^2 - 36x + 81

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

3x^2 - 36x + 81 = 0

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем воспользоваться квадратным корнем и дискриминантом.

Дискриминант (D) квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 задается формулой D = b^2 - 4ac. Если D > 0, то у уравнения есть два различных действительных корня. Если D = 0, то у уравнения есть один корень. Если D < 0, то у уравнения нет действительных корней.

В нашем случае, a = 3, b = -36 и c = 81. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

D = (-36)^2 - 4 * 3 * 81 D = 1296 - 972 D = 324

Так как D > 0, то у нас есть два различных действительных корня.

Решим уравнение, используя формулу квадратного корня:

x = (-b ± √D) / (2a)

x = (-(-36) ± √324) / (2 * 3) x = (36 ± 18) / 6

Таким образом, получаем два значения x:

x1 = (36 + 18) / 6 = 9 x2 = (36 - 18) / 6 = 3

Шаг 2: Анализ поведения функции на отрезке [0;7] Теперь, когда у нас есть критические точки функции, необходимо проанализировать поведение функции на интервале [0;7]. Для этого вычислим значения функции на концах интервала и в найденных критических точках.

f(0) = (0)^3 - 18(0)^2 + 81(0) + 73 = 73 f(7) = (7)^3 - 18(7)^2 + 81(7) + 73 = 420 f(3) = (3)^3 - 18(3)^2 + 81(3) + 73 = 91 f(9) = (9)^3 - 18(9)^2 + 81(9) + 73 = 829

Шаг 3: Ответ Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x^3 - 18x^2 + 81x + 73 на отрезке [0;7]:

Наименьшее значение: f(3) = 91 Наибольшее значение: f(9) = 829