Question

Нижнее основагие равнобедренной трапеции равно 13 см, а верхнее равно 5 см. Найдите площать трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне

Answer 1

Давайте обозначим данные задачи:

- \( a \) - длина нижнего основания трапеции, - \( b \) - длина верхнего основания трапеции, - \( h \) - высота трапеции (расстояние между основаниями), - \( d \) - длина диагонали трапеции, - \( c \) - боковая сторона трапеции.

В данной задаче:

\[ a = 13 \, \text{см} \]

\[ b = 5 \, \text{см} \]

Мы знаем, что диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне. Это означает, что у нас образуется прямоугольный треугольник с катетами \( h \) (высота трапеции) и \( \frac{a - b}{2} \) (половина разницы между длинами оснований).

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины диагонали:

\[ d = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2} \]

Также, мы знаем, что боковая сторона трапеции равна длине диагонали:

\[ c = d \]

Теперь мы можем решить систему уравнений для \( h \) и \( d \):

\[ h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 = c^2 \]

\[ h^2 + \left(\frac{13 - 5}{2}\right)^2 = d^2 \]

\[ h^2 + 4^2 = d^2 \]

\[ h^2 + 16 = d^2 \]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[ h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 = c^2 \]

\[ h^2 + 16 = d^2 \]

Из первого уравнения мы можем выразить \( h \):

\[ h^2 = c^2 - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 \]

И подставить это значение во второе уравнение:

\[ c^2 - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 + 16 = d^2 \]

Теперь у нас есть уравнение для нахождения \( d \). После нахождения \( d \) мы можем использовать формулу для площади трапеции:

\[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h \]

Теперь я решу уравнение и найду ответ.