Question

Докажите тождество Cos(7π|2+α)*tg (π|2-α)-sin⁡〖(π|2-α)〗+ ctg (3π|2-α)= tgα

Answer 1

Для доказательства данного тождества, вначале подставим значения тригонометрических функций, чтобы привести выражение к более удобному виду.

cos(7π/2 + α) = cos(π/2 + α) = -sin(α) tg(π/2 - α) = cotg(α) sin(π/2 - α) = cos(α) ctg(3π/2 - α) = -tan(α)

Теперь заменим данные значения в исходном тождестве:

-sin(α)*cotg(α) - cos(α) - tan(α) = -sin(α)/tan(α) - cos(α) - tan(α)

Для дальнейшего сокращения, приведем все слагаемые к общему знаменателю:

-sin(α)/tan(α) - cos(α) - tan(α) = -sin(α)/tan(α) - cos(α)*tan(α)/tan(α) - tan²(α)/tan(α)

Объединим первые два слагаемых:

-sin(α)/tan(α) - cos(α)*tan(α)/tan(α) = (-sin(α) - cos(α)*tan(α))/tan(α)

Приведем в общий знаменатель:

(-sin(α) - cos(α)*tan(α))/tan(α) = (-sin(α)*cos(α) - cos²(α))/tan(α)

Воспользуемся тригонометрическим тождеством sin²(α) + cos²(α) = 1:

(-sin(α)*cos(α) - cos²(α))/tan(α) = (-cos(α)*(sin(α) + cos(α)))/tan(α)

Применим определение tan(α) = sin(α)/cos(α):

(-cos(α)*(sin(α) + cos(α)))/tan(α) = (-cos(α)*(sin(α) + cos(α)))/(sin(α)/cos(α)) = -cos(α)*(sin(α) + cos(α))*cos(α)/sin(α) = -cos²(α) - cos(α)*sin(α)/sin(α)

Упростим:

-cos²(α) - cos(α)*sin(α)/sin(α) = -cos(α) - cos(α) = -2cos(α)

Таким образом, доказано тождество:

cos(7π/2 + α)*tg(π/2 - α) - sin(π/2 - α) + ctg(3π/2 - α) = -2cos(α)