Question

В квадрате 17 на 17 клеток лежат "в шахматном порядке" алые и белые розы (по одной на клетку). Одной операцией Лида может изменить цвета всех роз в произвольном прямоугольнике, начерченном по линиям клеток, на противоположные. Какое наименьшее количество операций понадобится Лиде, чтобы сделать все розы одноцветными?

Answer 1

Квадрат 17 на 17 клеток можно разделить на две части: верхнюю и нижнюю, где верхняя часть состоит из 9 строк, а нижняя из 8 строк.

Рассмотрим верхнюю часть. В ней содержится 9 строк по 17 клеток, то есть 153 клетки. В этих клетках находится 76 белых и 77 алых роз. Для того чтобы сделать все розы одноцветными, нужно изменить цвета роз в произвольном прямоугольнике, содержащем все клетки этой части. При этом можно предположить, что прямоугольник должен быть размером не менее 8x17, чтобы в него попали все 153 клетки.

Однако нам нужно сделать так, чтобы все розы стали одного цвета. Рассмотрим два случая:

1) Если в верхней части больше алых роз (77), то достаточно найти прямоугольник в верхней части, который содержит все алые розы. Для этого можно взять прямоугольник размером 9x9, в котором находится 81 клетка. В этом прямоугольнике будет 49 белых и 32 алых клетки. Таким образом, после одной операции все алые розы станут белыми.

2) Если в верхней части больше белых роз (76), то достаточно найти прямоугольник в верхней части, который содержит все белые розы. Для этого можно взять прямоугольник размером 9x8, в котором находится 72 клетки. В этом прямоугольнике будет 44 белых и 28 алых клеток. Таким образом, после одной операции все белые розы станут алыми.

Таким образом, наименьшее количество операций, которое понадобится Лиде, чтобы сделать все розы одноцветными, равно 1.