Question

 Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см вокруг большего катета (ПОЛНЫЙ ОТВЕТ НУЖНО)

Answer 1

Чтобы найти площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, мы можем воспользоваться формулой для площади поверхности вращения.

Пусть дан прямоугольный треугольник со сторонами a, b и c, где a и b - катеты, а c - гипотенуза. В данном случае, a = 3 см, b = 4 см.

Также, пусть треугольник вращается вокруг катета a.

Формула для площади поверхности вращения в данном случае будет:

\[ S = 2\pi \int_{0}^{c} f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \,dx \]

где функция \( f(x) \) представляет собой уравнение катета a в зависимости от x. В данном случае, уравнение катета a в декартовых координатах будет \( f(x) = 3 \).

Теперь вычислим производную \( f'(x) \):

\[ f'(x) = 0 \]

Теперь подставим все значения в формулу:

\[ S = 2\pi \int_{0}^{4} 3 \sqrt{1 + 0} \,dx \]

\[ S = 6\pi \int_{0}^{4} \,dx \]

\[ S = 6\pi [x]_{0}^{4} \]

\[ S = 24\pi \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см вокруг большего катета, равна \( 24\pi \, \text{см}^2 \).