Question

В прямоугольной системе координат на плоскости задана трапеция ABCD (AD ll BC, AD> BC). Площадь трапеции = 42. Определите абсциссу вершины D, если А (-1; 3), B (1, 6), C (7; 6)

Answer 1

Для решения данной задачи мы можем использовать свойство площади трапеции. Площадь трапеции может быть вычислена по формуле:

S = (a + b) * h / 2

где S - площадь, a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

В данном случае у нас уже известна площадь трапеции (S = 42) и значения координат точек A (-1, 3), B (1, 6) и C (7, 6). Нам нужно найти абсциссу вершины D.

Для начала, давайте найдем длины оснований трапеции AB и CD, а также ее высоту.

Длина основания AB равна разности абсцисс точек A и B:

AB = |x1 - x2| = |(-1) - 1| = 2

Длина основания CD равна разности абсцисс точек C и D:

CD = |x3 - x4|

Так как трапеция AD || BC, то AD || BC, поэтому углы A и D равны. Значит, вершины A и D имеют одинаковые ординаты:

y1 = y4 = 3

Теперь мы можем найти высоту трапеции. Для этого мы можем воспользоваться формулой площади трапеции:

S = (AB + CD) * h / 2

Подставляя известные значения, получаем:

42 = (2 + CD) * h / 2

Упрощая выражение, получаем:

84 = 2 + CD * h

Так как AD || BC, то высота трапеции равна разности ординат точек B и C:

h = |y2 - y3| = |6 - 6| = 0

Подставляя это значение обратно в уравнение, получаем:

84 = 2 + CD * 0

Упрощая выражение, получаем:

CD = 84 - 2 = 82

Теперь, зная длину основания CD, мы можем найти абсциссу вершины D. Для этого мы можем воспользоваться формулой:

CD = |x3 - x4|

Подставляя известные значения, получаем:

82 = |7 - x4|

Поскольку AD || BC, то x4 = x1. Таким образом, мы можем переписать уравнение:

82 = |7 - x1|

Разбивая это уравнение на два случая, получаем:

82 = 7 - x1 и 82 = x1 - 7

Решая каждое уравнение отдельно, получаем:

x1 = 7 - 82 = -75 и x1 = 82 + 7 = 89

Так как AD || BC, то абсцисса вершины D не может быть равна -75. Следовательно, абсцисса вершины D равна x1 = 89.

Таким образом, абсцисса вершины D равна 89.